(1) すべての実数 $x$ について、2次不等式 $x^2 + kx - k > 0$ が成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求める。 (2) 2次不等式 $kx^2 + (k+4)x + k > 0$ が解をもたないような定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) すべての実数 $x$ について、2次不等式 $x^2 + kx - k > 0$ が成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求める。

(2) 2次不等式 $kx^2 + (k+4)x + k > 0$ が解をもたないような定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

すべての実数 $x$ に対して $x^2 + kx - k > 0$ が成り立つための条件は、2次関数 $y = x^2 + kx - k$ のグラフが常に $x$ 軸より上にあること、つまり $x^2 + kx - k = 0$ の判別式 $D$ が $D < 0$ であることである。

判別式 $D$ は

$D = k^2 - 4(1)(-k) = k^2 + 4k$

$D < 0$ となる条件は

$k^2 + 4k < 0$

$k(k+4) < 0$

したがって、$-4 < k < 0$

(2)

2次不等式 $kx^2 + (k+4)x + k > 0$ が解をもたないための条件を考える。

まず、$k=0$ のとき、$4x > 0$ となり、$x>0$ で不等式が成り立つため、解をもつ。したがって、$k=0$ は条件を満たさない。

$k \neq 0$ の場合、2次不等式 $kx^2 + (k+4)x + k > 0$ が解をもたないということは、すべての $x$ に対して $kx^2 + (k+4)x + k \leq 0$ が成り立つということである。

したがって、以下の2つの条件を満たす必要がある。

* $k < 0$ (上に凸)

* 判別式 $D \leq 0$

判別式 $D$ は

$D = (k+4)^2 - 4(k)(k) = k^2 + 8k + 16 - 4k^2 = -3k^2 + 8k + 16$

$D \leq 0$ より、

$-3k^2 + 8k + 16 \leq 0$

$3k^2 - 8k - 16 \geq 0$

$(3k+4)(k-4) \geq 0$

$k \leq -\frac{4}{3}$ または $k \geq 4$

$k < 0$ である必要があるため、$k \leq -\frac{4}{3}$ が条件を満たす。

したがって、$k \leq -\frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $-4 < k < 0$

(2) $k \leq -\frac{4}{3}$