問題文は、行列 $A = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$ によって定まる写像 $y = Ax$ について、以下の2つの問いに答えるものです。 (1) 図の左側のグラフ用紙において点 $x = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ をとる。写像 $y = Ax$ によって決まる点 $y$ の位置を、右側のグラフ用紙に書き込み、その上で、橙色の格子の目盛りを読んで、点 $y$ の座標を答える。 (2) $ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = e_1, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = e_2 $ とするとき、点 $x = x_1 e_1 + x_2 e_2$ に対して、点 $y$ を $y = Ax$ と定める。 (a) $y$ を $a_1$ と $a_2$ の線形結合で表す。 (b) $y$ を $e_1$ と $e_2$ の線形結合で表す。

1. 問題の内容

問題文は、行列 $A = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$ によって定まる写像 $y = Ax$ について、以下の2つの問いに答えるものです。

(1) 図の左側のグラフ用紙において点 $x = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ をとる。写像 $y = Ax$ によって決まる点 $y$ の位置を、右側のグラフ用紙に書き込み、その上で、橙色の格子の目盛りを読んで、点 $y$ の座標を答える。

(2) $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = e_1, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = e_2$ とするとき、点 $x = x_1 e_1 + x_2 e_2$ に対して、点 $y$ を $y = Ax$ と定める。

(a) $y$ を $a_1$ と $a_2$ の線形結合で表す。

(b) $y$ を $e_1$ と $e_2$ の線形結合で表す。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$A$ を列ベクトル $a_1, a_2$ を用いて $A = [a_1, a_2]$ と表すと、

$a_1 = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}, a_2 = \begin{bmatrix} \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}$ となります。

次に、$x = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ に対して $y = Ax$ を計算します。

$y = Ax = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \times 3 + \frac{3}{2} \times 1 \\ \frac{1}{2} \times 3 + \frac{1}{2} \times 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}$

したがって、$y = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}$ となります。右側のグラフ用紙から、$y = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}$ と読めます。

(2)

(a) $x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ とすると、$y = Ax = [a_1, a_2] \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1 a_1 + x_2 a_2$。

このとき、$x_1 = 3, x_2 = 1$ より、$y = 3a_1 + a_2$。

(b) $a_1 = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \frac{1}{2} e_1 + \frac{1}{2} e_2, a_2 = \begin{bmatrix} \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \frac{3}{2} e_1 + \frac{1}{2} e_2$。

よって、$y = 3a_1 + a_2 = 3 \left( \frac{1}{2} e_1 + \frac{1}{2} e_2 \right) + \left( \frac{3}{2} e_1 + \frac{1}{2} e_2 \right) = \frac{3}{2} e_1 + \frac{3}{2} e_2 + \frac{3}{2} e_1 + \frac{1}{2} e_2 = (\frac{3}{2} + \frac{3}{2}) e_1 + (\frac{3}{2} + \frac{1}{2}) e_2 = 3e_1 + 2e_2$。

3. 最終的な答え

(1) $y = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}$

(2)

(a) $y = 3a_1 + a_2$

(b) $y = 3e_1 + 2e_2$