問題は2つの部分から構成されています。 (1) 2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha + \beta$、$\alpha \beta$、$\alpha^2 + \beta^2$、$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ の値を求めます。 (2) 多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 + 6x - 1$ を $x^2 + 2x + 1$ で割ると、余りが $3x - 2$ となるときの $a$ の値と、そのときの商 $Q(x)$ を求めます。

1. 問題の内容

問題は2つの部分から構成されています。

(1) 2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha + \beta$、$\alpha \beta$、$\alpha^2 + \beta^2$、$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ の値を求めます。

(2) 多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 + 6x - 1$ を $x^2 + 2x + 1$ で割ると、余りが $3x - 2$ となるときの $a$ の値と、そのときの商 $Q(x)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{-4}{1} = 4$

$\alpha \beta = \frac{-2}{1} = -2$

したがって、アは4、イウは-2。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = 4^2 - 2(-2) = 16 + 4 = 20$

したがって、エオは20。

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{4}{-2} = -2$

したがって、カキは-2。

(2)

$P(x) = x^3 + ax^2 + 6x - 1$ を $x^2 + 2x + 1$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $3x - 2$ とすると、

$P(x) = (x^2 + 2x + 1)Q(x) + 3x - 2$

$Q(x) = x + k$ とおくと、

$x^3 + ax^2 + 6x - 1 = (x^2 + 2x + 1)(x + k) + 3x - 2$

$x^3 + ax^2 + 6x - 1 = x^3 + kx^2 + 2x^2 + 2kx + x + k + 3x - 2$

$x^3 + ax^2 + 6x - 1 = x^3 + (k + 2)x^2 + (2k + 4)x + (k - 2)$

係数を比較すると、

$a = k + 2$

$6 = 2k + 4$

$-1 = k - 2$

$2k = 2$ より $k = 1$

$k = 1$ を代入すると、

$a = 1 + 2 = 3$

したがって、クは3。

$Q(x) = x + 1$

したがって、ケは1。

3. 最終的な答え

ア：4

イウ：-2

エオ：20

カキ：-2

ク：3

ケ：1