与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} -2 & -4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ について、以下の問題を解く。 (1) $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ が解を持つための $p, q$ の条件を求める。ここで $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix}$ である。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} -2 & -4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ について、以下の問題を解く。

(1) $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ が解を持つための $p, q$ の条件を求める。ここで $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix}$ である。

2. 解き方の手順

連立一次方程式 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ が解を持つための条件は、拡大行列 $[A | \mathbf{b}]$ のランクと行列 $A$ のランクが等しいことである。つまり、$\text{rank}(A) = \text{rank}([A | \mathbf{b}])$ でなければならない。

まず、行列 $A$ のランクを求める。行列 $A$ の2行目は1行目の $-1/2$ 倍であるため、行列 $A$ のランクは1である。つまり $\text{rank}(A) = 1$。

次に、拡大行列 $[A | \mathbf{b}]$ を考える。

$[A | \mathbf{b}] = \begin{bmatrix} -2 & -4 & p \\ 1 & 2 & q \end{bmatrix}$

この行列を簡約化する。2行目に1行目の $1/2$ 倍を加える。

$\begin{bmatrix} -2 & -4 & p \\ 0 & 0 & q + \frac{1}{2}p \end{bmatrix}$

拡大行列 $[A | \mathbf{b}]$ のランクが1であるためには、3列2行目の要素が0でなければならない。つまり、

$q + \frac{1}{2}p = 0$

したがって、$2q + p = 0$ または $p = -2q$。

3. 最終的な答え

解 $\mathbf{x}$ が存在するための条件は、$p = -2q$ である。