(II) 2次関数 $y = -x^2 + 2ax + 3 - a^2$ について、以下の問いに答える。ただし、$a$, $b$, $x$, $y$ は実数であり、$a$, $b$ は定数である。 (1) $x=$ [7] のとき、$y$ は最大値 [8] をとる。 (2) $0 < a < 1$, $0 \le x \le 3$ のとき、$y$ の最小値が $-\frac{13}{4}$ であった。このとき、$a$ の値は [9] である。 (3) $a = b^2 - 2b + 5$, $b > 0$, $0 \le x \le 3$ のとき、$y$ の最小値が $-22$ であった。このとき、$a$ の値は [10], $b$ の値は [11] である。また、$y$ の最大値は [12] である。

1. 問題の内容

(II) 2次関数 $y = -x^2 + 2ax + 3 - a^2$ について、以下の問いに答える。ただし、$a$, $b$, $x$, $y$ は実数であり、$a$, $b$ は定数である。

(1) $x=$ [7] のとき、$y$ は最大値 [8] をとる。

(2) $0 < a < 1$, $0 \le x \le 3$ のとき、$y$ の最小値が $-\frac{13}{4}$ であった。このとき、$a$ の値は [9] である。

(3) $a = b^2 - 2b + 5$, $b > 0$, $0 \le x \le 3$ のとき、$y$ の最小値が $-22$ であった。このとき、$a$ の値は [10], $b$ の値は [11] である。また、$y$ の最大値は [12] である。

2. 解き方の手順

(1) $y = -x^2 + 2ax + 3 - a^2 = -(x^2 - 2ax) + 3 - a^2 = -(x^2 - 2ax + a^2) + a^2 + 3 - a^2 = -(x-a)^2 + 3$ と平方完成できる。

したがって、$x = a$ のとき、$y$ は最大値 $3$ をとる。

(2) $y = -(x-a)^2 + 3$ であり、$0 < a < 1$ かつ $0 \le x \le 3$ である。

軸 $x = a$ は区間 $[0, 3]$ に含まれるので、区間の端点で最小値をとる。

$x = 3$ のとき、$y = -(3-a)^2 + 3 = -(9 - 6a + a^2) + 3 = -a^2 + 6a - 6 = -\frac{13}{4}$

$a^2 - 6a + 6 = \frac{13}{4}$

$4a^2 - 24a + 24 = 13$

$4a^2 - 24a + 11 = 0$

$(2a - 11)(2a - 1) = 0$

$a = \frac{11}{2}$ または $a = \frac{1}{2}$

$0 < a < 1$ より、$a = \frac{1}{2}$

(3) $a = b^2 - 2b + 5 = (b-1)^2 + 4$ である。$b > 0$ より、$a \ge 4$ である。

$y = -(x-a)^2 + 3$ であり、$0 \le x \le 3$ である。

$x = a$ で最大値 $3$ をとり、$x = 0$ または $x = 3$ で最小値をとる。

$y$ の最小値は $-22$ であるから、$x = 0$ または $x = 3$ で $y = -22$ となる。

$x = 0$ のとき、$y = -a^2 + 3 = -22$ より $a^2 = 25$ であり、$a = \pm 5$ となる。$a \ge 4$ より、$a = 5$。

$x = 3$ のとき、$y = -(3-a)^2 + 3 = -22$ より $(3-a)^2 = 25$ であり、$3-a = \pm 5$ となる。

$a = 3 \mp 5$ より $a = -2$ または $a = 8$。$a \ge 4$ より、$a = 8$。

$a = b^2 - 2b + 5$ より、$a = 5$ のとき $b^2 - 2b + 5 = 5$ なので、$b^2 - 2b = 0$。$b(b-2) = 0$ より $b = 0, 2$。$b > 0$ より $b = 2$。

$a = 8$ のとき $b^2 - 2b + 5 = 8$ なので、$b^2 - 2b - 3 = 0$。$(b-3)(b+1) = 0$ より $b = 3, -1$。$b > 0$ より $b = 3$。

$a = 5$ のとき、軸は $x = 5$ なので、$0 \le x \le 3$ では $x = 3$ で最小値を取る。このとき、最小値は $-(3-5)^2 + 3 = -4 + 3 = -1$。これは $-22$ とは異なるので不適。

$a = 8$ のとき、軸は $x = 8$ なので、$0 \le x \le 3$ では $x = 3$ で最小値を取る。このとき、最小値は $-(3-8)^2 + 3 = -25 + 3 = -22$。これは条件を満たす。

したがって、$a = 8$ であり、$b = 3$。

$y$ の最大値は $3$ である。

3. 最終的な答え

[7]: $a$

[8]: $3$

[9]: $\frac{1}{2}$

[10]: $8$

[11]: $3$

[12]: $3$