2次関数 $y = x^2 + 2(a-1)x$ のグラフを$C$とする。 (1) $C$の頂点の座標を求める。 (2) 2次関数①の$-1 \le x \le 1$における最小値を求める。 (3) 最小値を$a$の関数と考えたとき、それが最大となる$a$の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2(a-1)x$ のグラフを$C$とする。

(1) $C$の頂点の座標を求める。

(2) 2次関数①の$-1 \le x \le 1$における最小値を求める。

(3) 最小値を$a$の関数と考えたとき、それが最大となる$a$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数を平方完成する。

$y = x^2 + 2(a-1)x = (x + (a-1))^2 - (a-1)^2 = (x + a - 1)^2 - (a^2 - 2a + 1)$

よって、頂点の座標は $(1-a, -a^2 + 2a - 1)$ となる。

ア= -1, イ= 1, ウ= -1, エ= 1

(2) $y = (x+a-1)^2 - (a-1)^2$の頂点の$x$座標は $x=-a+1$である。

$-1 \le x \le 1$における最小値を考えるので、

(i) $-a+1 \in [-1, 1]$のとき、すなわち、$-1 \le -a+1 \le 1$。

$0 \le a \le 2$のとき、最小値は頂点の$y$座標である$-a^2 + 2a -1 = -(a-1)^2$となる。

(ii) $-a+1 > 1$のとき、すなわち、$a < 0$のとき、最小値は$x=1$のときの値で、

$y = 1 + 2(a-1) = 2a - 1$

(iii) $-a+1 < -1$のとき、すなわち、$a > 2$のとき、最小値は$x=-1$のときの値で、

$y = 1 - 2(a-1) = -2a + 3$

最小値が$-1(a-1)^2$となる$a$の範囲は$0 \le a \le 2$。 オ= 0, カ= 2

$a>2$のとき、最小値は$-2a + 3$。 キク= -2, ケ= 3

$a<0$のとき、最小値は$2a - 1$。 コ= 2, サ= 1

(3) 最小値$m(a)$は

$m(a) = \begin{cases} 2a - 1 & a < 0 \\ -(a-1)^2 & 0 \le a \le 2 \\ -2a + 3 & a > 2 \end{cases}$

$m(a)$が最大となるのは、$a=1$のとき。

なぜなら、$a < 0$のとき$2a - 1 < -1$，$0 \le a \le 2$のとき、$-(a-1)^2 \le 0$，$a > 2$のとき、$-2a + 3 < -1$であり、$a=1$のとき、$m(1) = 0$。

したがって、シ= 1

3. 最終的な答え

ア= -1

イ= 1

ウ= -1

エ= 1

オ= 0

カ= 2

キク= -2

ケ= 3

コ= 2

サ= 1

シ= 1