与えられた2次関数 $y = -x^2 + 2ax + 3 - a^2$ について、以下の問いに答える。 (1) $y$ が最大値をとる時の $x$ の値と、その最大値を求める。 (2) $0 < a < 1$ かつ $0 \le x \le 3$ の時、$y$ の最小値が $-13/4$ であるとき、$a$ の値を求める。 (3) $a = b^2 - 2b + 5$, $b > 0$, $0 \le x \le 3$ の時、$y$ の最小値が $-22$ であるとき、$a$ の値、$b$ の値、そして $y$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = -x^2 + 2ax + 3 - a^2$ について、以下の問いに答える。

(1) $y$ が最大値をとる時の $x$ の値と、その最大値を求める。

(2) $0 < a < 1$ かつ $0 \le x \le 3$ の時、$y$ の最小値が $-13/4$ であるとき、$a$ の値を求める。

(3) $a = b^2 - 2b + 5$, $b > 0$, $0 \le x \le 3$ の時、$y$ の最小値が $-22$ であるとき、$a$ の値、$b$ の値、そして $y$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、2次関数を平方完成する。

$y = -(x^2 - 2ax) + 3 - a^2$

$y = -(x^2 - 2ax + a^2) + a^2 + 3 - a^2$

$y = -(x - a)^2 + 3$

したがって、$x = a$ のとき、$y$ は最大値 $3$ をとる。

(2)

$0 < a < 1$ かつ $0 \le x \le 3$ の時、$y$ の最小値を考える。

軸は $x = a$ で、$0 < a < 1$ であるから、定義域 $0 \le x \le 3$ に含まれる。

よって、最小値は $x = 3$ でとる。

$y(3) = -3^2 + 2a(3) + 3 - a^2 = -9 + 6a + 3 - a^2 = -a^2 + 6a - 6$

$-a^2 + 6a - 6 = -\frac{13}{4}$

$a^2 - 6a + 6 = \frac{13}{4}$

$4a^2 - 24a + 24 = 13$

$4a^2 - 24a + 11 = 0$

$(2a - 11)(2a - 1) = 0$

$a = \frac{11}{2}$ または $a = \frac{1}{2}$

$0 < a < 1$ より、$a = \frac{1}{2}$

(3)

$a = b^2 - 2b + 5 = (b-1)^2 + 4$ であり、$b > 0$ より $a \ge 4$ となる。

$0 \le x \le 3$ の時、$y$ の最小値が $-22$ である。

$y = -(x-a)^2 + 3$

(i) $a \le 0$ のとき、$0 \le x \le 3$ で単調減少なので、$x=3$ で最小値をとる。

$y(3) = -3^2 + 2a(3) + 3 - a^2 = -a^2 + 6a - 6 = -22$

$a^2 - 6a - 16 = 0$

$(a-8)(a+2) = 0$

$a = 8$ または $a = -2$

$a \le 0$ より、$a = -2$

しかし、$a \ge 4$ なので、矛盾。

(ii) $0 < a < 3$ のとき、$x=3$ で最小値をとる

$-a^2 + 6a - 6 = -22$

$a^2 - 6a - 16 = 0$

$(a-8)(a+2) = 0$

$a = 8$ または $a = -2$

$0 < a < 3$ を満たさないので、不適。

(iii) $a \ge 3$ のとき、$x=0$ で最小値をとる。

$y(0) = -0^2 + 2a(0) + 3 - a^2 = 3 - a^2 = -22$

$a^2 = 25$

$a = \pm 5$

$a \ge 3$ より、$a = 5$

$a = b^2 - 2b + 5 = 5$

$b^2 - 2b = 0$

$b(b-2) = 0$

$b = 0$ または $b = 2$

$b > 0$ より、$b = 2$

このとき、$y = -(x-5)^2 + 3$ であり、$0 \le x \le 3$ なので、$x = 0$ で最大値をとる。

$y(0) = - (0-5)^2 + 3 = -25 + 3 = -22$

(1) の結果より、$x = a$ で最大値 $3$ をとる。

$a=5$ なので、$x = 3$ で最大値をとる。

$y(3) = -(3-5)^2 + 3 = -4 + 3 = -1$

これは $-22$ と矛盾するので、どこかに誤りがある。

$y$ の最小値は $x=3$ のとき、$-22$ になる。

$-a^2 + 6a - 6 = -22$

$a^2 - 6a - 16 = 0$

$(a-8)(a+2) = 0$

$a = 8$ または $a=-2$

しかし、$a = b^2 - 2b + 5 = (b-1)^2 + 4 \ge 4$ なので、$a=8$

$8 = b^2 - 2b + 5$

$b^2 - 2b - 3 = 0$

$(b-3)(b+1) = 0$

$b = 3$ または $b = -1$

$b > 0$ より、$b = 3$

$y = -(x - 8)^2 + 3$

$0 \le x \le 3$ の範囲で、$y$ の最大値は、$x=0$ のとき

$y(0) = - (0-8)^2 + 3 = -64 + 3 = -61$

3. 最終的な答え

(1) $x = a$ のとき、yは最大値 $3$ をとる。

(2) $a = \frac{1}{2}$

(3) $a = 8$, $b = 3$, $y$ の最大値は $-61$