2次関数 $y = -x^2 + 2ax + 3 - a^2$ について、以下の問いに答える。 (1) $y$ が最大値をとるときの $x$ の値とその最大値を求める。 (2) $0 < a < 1$ かつ $0 \le x \le 3$ のとき、$y$ の最小値が $-\frac{13}{4}$ であるときの $a$ の値を求める。 (3) $a = b^2 - 2b + 5$ かつ $b > 0$ かつ $0 \le x \le 3$ のとき、$y$ の最小値が $-22$ であるときの $a, b$ の値を求め、さらにそのときの $y$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 2ax + 3 - a^2$ について、以下の問いに答える。

(1) $y$ が最大値をとるときの $x$ の値とその最大値を求める。

(2) $0 < a < 1$ かつ $0 \le x \le 3$ のとき、$y$ の最小値が $-\frac{13}{4}$ であるときの $a$ の値を求める。

(3) $a = b^2 - 2b + 5$ かつ $b > 0$ かつ $0 \le x \le 3$ のとき、$y$ の最小値が $-22$ であるときの $a, b$ の値を求め、さらにそのときの $y$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数を平方完成する。

$y = -x^2 + 2ax + 3 - a^2 = -(x^2 - 2ax) + 3 - a^2 = -(x^2 - 2ax + a^2) + a^2 + 3 - a^2 = -(x - a)^2 + 3$

したがって、$x = a$ のとき、$y$ は最大値 $3$ をとる。

(2) $0 < a < 1$ かつ $0 \le x \le 3$ のとき、$y$ の最小値を考える。

軸は $x = a$ であり、$0 < a < 1$ であるから、軸は定義域に含まれる。

また、下に凸の放物線であるから、$x$ が定義域の端点であるときに最小値をとる可能性がある。

$f(x) = -x^2 + 2ax + 3 - a^2$ とおくと、

$f(0) = 3 - a^2$

$f(3) = -9 + 6a + 3 - a^2 = -a^2 + 6a - 6$

$x = 3$ のとき、最小値を取ると仮定すると $a > 1$となり、$0<a<1$に反する。

$x=0$ のとき最小値を取ると仮定すると、 $3-a^2 = -\frac{13}{4}$

$a^2 = 3+\frac{13}{4} = \frac{12+13}{4} = \frac{25}{4}$

$a = \pm \frac{5}{2}$ となるが、$0 < a < 1$ を満たさない。

軸が範囲に入っているので、$x = 3$ で最小値を取る。

最小値は $f(3) = -a^2 + 6a - 6 = -\frac{13}{4}$

$4a^2 - 24a + 24 = 13$

$4a^2 - 24a + 11 = 0$

$(2a - 11)(2a - 1) = 0$

$a = \frac{11}{2}, \frac{1}{2}$

$0 < a < 1$ より、$a = \frac{1}{2}$

(3) $a = b^2 - 2b + 5$ かつ $b > 0$ かつ $0 \le x \le 3$ のとき、$y$ の最小値が $-22$ である。

$a = b^2 - 2b + 5 = (b - 1)^2 + 4$

$b > 0$ より、$a \ge 4$

$0 \le x \le 3$ より、$f(0) = 3 - a^2$, $f(3) = -a^2 + 6a - 6$

$f(a) = 3$ であるから、$x = 3$ で最小値をとる。

$-a^2 + 6a - 6 = -22$

$a^2 - 6a - 16 = 0$

$(a - 8)(a + 2) = 0$

$a = 8, -2$

$a \ge 4$ より、$a = 8$

$a = (b - 1)^2 + 4 = 8$

$(b - 1)^2 = 4$

$b - 1 = \pm 2$

$b = 3, -1$

$b > 0$ より、$b = 3$

このとき、$a = 8$ なので、$f(x) = -x^2 + 16x + 3 - 64 = -x^2 + 16x - 61$

$y = -(x-8)^2+3$

$0 \le x \le 3$ より、最大値は、$x = 0$ で $y = f(0) = -61$である。

3. 最終的な答え

(1) $x = a$ のとき、最大値 $3$ をとる。

(2) $a = \frac{1}{2}$

(3) $a = 8$, $b = 3$, 最大値は $-61$