$n \times n$ の行列 $A_n$ が与えられています。行列 $A_n$ の対角成分は全て $x$ であり、それ以外の成分は全て $1$ です。この行列 $A_n$ の行列式を求める問題です。ここで、$x = 1 + 1 + ... + 1$ （1がn個）として解くことを提案されています。多重線形性（または線形性）を利用するように指示されています。

1. 問題の内容

$n \times n$ の行列 $A_n$ が与えられています。行列 $A_n$ の対角成分は全て $x$ であり、それ以外の成分は全て $1$ です。この行列 $A_n$ の行列式を求める問題です。ここで、$x = 1 + 1 + ... + 1$ （1がn個）として解くことを提案されています。多重線形性（または線形性）を利用するように指示されています。

2. 解き方の手順

行列 $A_n$ は次のように表されます。

$$

A_n =

\begin{pmatrix}

x & 1 & 1 & \cdots & 1 \\

1 & x & 1 & \cdots & 1 \\

1 & 1 & x & \cdots & 1 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

1 & 1 & 1 & \cdots & x

\end{pmatrix}

$$

この行列式を $D_n$ とします。

$D_n = \det(A_n)$

$x = 1 + (x-1)$ と分解し、線形性（多重線形性）を利用します。

第1列を $x = 1 + (x-1)$ と分解します。すると、行列式は以下のように分解できます。

$$

D_n =

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\

1 & x & 1 & \cdots & 1 \\

1 & 1 & x & \cdots & 1 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

1 & 1 & 1 & \cdots & x

\end{vmatrix}

+

\begin{vmatrix}

x-1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\

0 & x & 1 & \cdots & 1 \\

0 & 1 & x & \cdots & 1 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & 1 & 1 & \cdots & x

\end{vmatrix}

$$

最初の行列では、第1列を他の列から引くことで、簡単に計算できます。しかし、ここでは、第1行からすべての行を引く操作をする方が簡単です。すると、最初の行列の行列式は0になります。

あるいは、1行目がすべて1なので、$x = n$を代入し、行列式を計算すると0になることがわかります。

$D_n = (x-1) \begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\

0 & x & 1 & \cdots & 1 \\

0 & 1 & x & \cdots & 1 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & 1 & 1 & \cdots & x

\end{vmatrix} = (x-1) \det(B_{n-1})$

ここで、$B_{n-1}$は$(n-1) \times (n-1)$行列で、対角成分が$x$、それ以外が1です。

$D_n = (x-1) D_{n-1}'$

ただし、$D_{n-1}'$ は第一列が $1, x, 1, \cdots, 1$になっている行列式です。

$x=n$を使うのは、ここで行列式の値が0になることを示すだけです。

代わりに、全ての行を第一行に加えます。すると、第一行は全て $x + n - 1$ になります。

$$

D_n =

\begin{vmatrix}

x & 1 & 1 & \cdots & 1 \\

1 & x & 1 & \cdots & 1 \\

1 & 1 & x & \cdots & 1 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

1 & 1 & 1 & \cdots & x

\end{vmatrix}

=

\begin{vmatrix}

x+n-1 & x+n-1 & x+n-1 & \cdots & x+n-1 \\

1 & x & 1 & \cdots & 1 \\

1 & 1 & x & \cdots & 1 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

1 & 1 & 1 & \cdots & x

\end{vmatrix}

$$

$$

= (x+n-1)

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\

1 & x & 1 & \cdots & 1 \\

1 & 1 & x & \cdots & 1 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

1 & 1 & 1 & \cdots & x

\end{vmatrix}

$$

第2行以降から第1行を引きます。

$$

D_n = (x+n-1)

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\

0 & x-1 & 0 & \cdots & 0 \\

0 & 0 & x-1 & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & 0 & 0 & \cdots & x-1

\end{vmatrix} = (x+n-1) (x-1)^{n-1}

$$

3. 最終的な答え

$(x+n-1)(x-1)^{n-1}$