(1) 中心が直線 $y = x + 3$ 上にあり、2点 $(2, 8)$、 $(-1, 5)$ を通る円の方程式を求め、$(x - ア)^2 + (y - イ)^2 = ウ$ の形で表す。 (2) 点 $(3, 1)$ と直線 $4x - 3y - 5 = 0$ の距離 $d$ を求める。 (3) 不等式 $4^x - 3 \cdot 2^x - 4 > 0$ を解き、$x > カ$ の形で表す。 (4) 方程式 $\log_2(x - 6) + \log_2(x - 2) = 5$ を解き、$x = キク$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 中心が直線 $y = x + 3$ 上にあり、2点 $(2, 8)$、 $(-1, 5)$ を通る円の方程式を求め、$(x - ア)^2 + (y - イ)^2 = ウ$ の形で表す。

(2) 点 $(3, 1)$ と直線 $4x - 3y - 5 = 0$ の距離 $d$ を求める。

(3) 不等式 $4^x - 3 \cdot 2^x - 4 > 0$ を解き、$x > カ$ の形で表す。

(4) 方程式 $\log_2(x - 6) + \log_2(x - 2) = 5$ を解き、$x = キク$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

円の中心を $(a, a+3)$ とおく。

点 $(2, 8)$、 $(-1, 5)$ が円周上にあるので、中心からの距離が等しい。

$(2 - a)^2 + (8 - (a + 3))^2 = (-1 - a)^2 + (5 - (a + 3))^2$

$(2 - a)^2 + (5 - a)^2 = (-1 - a)^2 + (2 - a)^2$

$(2 - a)^2 + (5 - a)^2 - (-1 - a)^2 - (2 - a)^2 = 0$

$(5 - a)^2 - (-1 - a)^2 = 0$

$(5 - a + 1 + a)(5 - a - (-1 - a)) = 0$

$6(6) = 0$ (これは成り立たない)

$(5 - a)^2 - (-(1 + a))^2 = 0$

$(5 - a)^2 - (1 + a)^2 = 0$

$(25 - 10a + a^2) - (1 + 2a + a^2) = 0$

$24 - 12a = 0$

$12a = 24$

$a = 2$

よって、円の中心は $(2, 5)$ である。

円の半径 $r$ は、$(2, 8)$ と $(2, 5)$ の距離なので、$r^2 = (2 - 2)^2 + (8 - 5)^2 = 0^2 + 3^2 = 9$

よって、円の方程式は $(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 9$

したがって、ア $= 2$, イ $= 5$, ウ $= 9$

(2)

点 $(3, 1)$ と直線 $4x - 3y - 5 = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|4(3) - 3(1) - 5|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|12 - 3 - 5|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|4|}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}$

したがって、エ $= 4$, オ $= 5$

(3)

$4^x - 3 \cdot 2^x - 4 > 0$

$(2^x)^2 - 3 \cdot 2^x - 4 > 0$

$t = 2^x$ とおくと、$t^2 - 3t - 4 > 0$

$(t - 4)(t + 1) > 0$

$t < -1$ または $t > 4$

$2^x < -1$ は解なし ($2^x$ は常に正)

$2^x > 4$

$2^x > 2^2$

$x > 2$

したがって、カ $= 2$

(4)

$\log_2(x - 6) + \log_2(x - 2) = 5$

$\log_2((x - 6)(x - 2)) = 5$

$(x - 6)(x - 2) = 2^5$

$x^2 - 8x + 12 = 32$

$x^2 - 8x - 20 = 0$

$(x - 10)(x + 2) = 0$

$x = 10$ または $x = -2$

真数条件より、$x - 6 > 0$ かつ $x - 2 > 0$ なので、$x > 6$

よって、$x = 10$

したがって、キク $= 10$

3. 最終的な答え

(1) ア $= 2$, イ $= 5$, ウ $= 9$

(2) エ $= 4$, オ $= 5$

(3) カ $= 2$

(4) キク $= 10$