2次方程式 $x^2 - (a-10)x + a + 14 = 0$ が与えられたときに、以下の条件を満たす定数 $a$ の値の範囲を求めます。 (1) 異なる2つの正の解を持つ。 (2) 異符号の解を持つ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - (a-10)x + a + 14 = 0$ が与えられたときに、以下の条件を満たす定数 $a$ の値の範囲を求めます。

(1) 異なる2つの正の解を持つ。

(2) 異符号の解を持つ。

2. 解き方の手順

(1) 異なる2つの正の解を持つ場合

判別式を $D$, 2つの解を $\alpha, \beta$ とします。2つの解が異なる正の数であるための条件は次の3つです。

* $D > 0$

* $\alpha + \beta > 0$

* $\alpha \beta > 0$

まず、判別式 $D$ を計算します。

$D = (a-10)^2 - 4(a+14) = a^2 - 20a + 100 - 4a - 56 = a^2 - 24a + 44$

$D > 0$ より、$a^2 - 24a + 44 > 0$

$(a-2)(a-22) > 0$

したがって、$a < 2$ または $a > 22$

次に、解と係数の関係より、$\alpha + \beta = a - 10$ なので、

$\alpha + \beta > 0$ より、$a - 10 > 0$

よって、$a > 10$

さらに、$\alpha \beta = a + 14$ なので、

$\alpha \beta > 0$ より、$a + 14 > 0$

よって、$a > -14$

以上の条件をすべて満たす $a$ の範囲は、$a > 22$

(2) 異符号の解を持つ場合

2つの解が異符号であるための条件は、解の積が負であることです。

すなわち、$\alpha \beta < 0$

解と係数の関係より、$\alpha \beta = a + 14$ なので、

$a + 14 < 0$

したがって、$a < -14$

3. 最終的な答え

(1) 異なる2つの正の解を持つ場合：$a > 22$

(2) 異符号の解を持つ場合：$a < -14$