初項が-2, 公差が5の等差数列について、以下の2つの問題を解きます。 (1) 第14項を求める。 (2) 初項から第14項までの和を求める。

## 問題14

1. 問題の内容

初項が-2, 公差が5の等差数列について、以下の2つの問題を解きます。

(1) 第14項を求める。

(2) 初項から第14項までの和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の第n項 $a_n$ は、$a_n = a_1 + (n-1)d$で求められます。ここで、$a_1$は初項、$d$は公差です。今回の問題では、$a_1 = -2$、$d = 5$、$n = 14$なので、

$a_{14} = -2 + (14-1) * 5$

となります。

(2) 等差数列の初項から第n項までの和$S_n$は、$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$で求められます。今回の問題では、$n = 14$、$a_1 = -2$、$a_{14}$は(1)で求めた値なので、

$S_{14} = \frac{14}{2}(-2 + a_{14})$

となります。

3. 最終的な答え

(1) 第14項:

$a_{14} = -2 + (14-1) * 5 = -2 + 13 * 5 = -2 + 65 = 63$

(2) 初項から第14項までの和:

$S_{14} = \frac{14}{2}(-2 + 63) = 7 * 61 = 427$

答え: (1) 63, (2) 427

## 問題15

1. 問題の内容

以下の2つの積分問題を解きます。

(1) 不定積分 $\int (-\frac{1}{2}x^2 + 3) dx$ を求める。

(2) 定積分 $\int_{-1}^{2} (-\frac{1}{2}x^2 + 3) dx$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不定積分の計算:

$\int (-\frac{1}{2}x^2 + 3) dx = -\frac{1}{2} \int x^2 dx + 3 \int dx = -\frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + 3x + C = -\frac{1}{6}x^3 + 3x + C$

ここで、$C$は積分定数です。

(2) 定積分の計算:

まず、不定積分を求めます。これは(1)で計算済みです。次に、積分範囲の上端と下端を代入して差を求めます。

$\int_{-1}^{2} (-\frac{1}{2}x^2 + 3) dx = [-\frac{1}{6}x^3 + 3x]_{-1}^{2} = (-\frac{1}{6}(2)^3 + 3(2)) - (-\frac{1}{6}(-1)^3 + 3(-1)) = (-\frac{8}{6} + 6) - (\frac{1}{6} - 3)$

3. 最終的な答え

(1) 不定積分:

$-\frac{1}{6}x^3 + 3x + C$

(2) 定積分:

$(-\frac{8}{6} + 6) - (\frac{1}{6} - 3) = -\frac{4}{3} + 6 - \frac{1}{6} + 3 = 9 - \frac{8}{6} - \frac{1}{6} = 9 - \frac{9}{6} = 9 - \frac{3}{2} = \frac{18}{2} - \frac{3}{2} = \frac{15}{2}$

答え: (1) $-\frac{1}{6}x^3 + 3x + C$, (2) $\frac{15}{2}$