与えられたベクトル $u$ と $v$ の外積 $u \times v$ を計算する問題です。3つの異なるベクトルの組に対して計算を行います。

1. 問題の内容

与えられたベクトル $u$ と $v$ の外積 $u \times v$ を計算する問題です。3つの異なるベクトルの組に対して計算を行います。

2. 解き方の手順

外積は、次の公式を用いて計算します。

$u = a_1e_1 + a_2e_2 + a_3e_3$, $v = b_1e_1 + b_2e_2 + b_3e_3$ のとき、

$u \times v = (a_2b_3 - a_3b_2)e_1 + (a_3b_1 - a_1b_3)e_2 + (a_1b_2 - a_2b_1)e_3$

(1) $u = e_1 + e_2 + e_3$, $v = 3e_1 - 4e_2$

$u \times v = (1 \cdot 0 - 1 \cdot (-4))e_1 + (1 \cdot 3 - 1 \cdot 0)e_2 + (1 \cdot (-4) - 1 \cdot 3)e_3$

$= 4e_1 + 3e_2 - 7e_3$

(2) $u = 5e_1 + 4e_2 + 3e_3$, $v = -4e_1 + 3e_2 - 2e_3$

$u \times v = (4 \cdot (-2) - 3 \cdot 3)e_1 + (3 \cdot (-4) - 5 \cdot (-2))e_2 + (5 \cdot 3 - 4 \cdot (-4))e_3$

$= (-8 - 9)e_1 + (-12 + 10)e_2 + (15 + 16)e_3$

$= -17e_1 - 2e_2 + 31e_3$

(3) $u = -2e_1 - 6e_2 + 8e_3$, $v = 5e_1 - 10e_2 + 15e_3$

$u \times v = ((-6) \cdot 15 - 8 \cdot (-10))e_1 + (8 \cdot 5 - (-2) \cdot 15)e_2 + ((-2) \cdot (-10) - (-6) \cdot 5)e_3$

$= (-90 + 80)e_1 + (40 + 30)e_2 + (20 + 30)e_3$

$= -10e_1 + 70e_2 + 50e_3$

3. 最終的な答え

(1) $u \times v = 4e_1 + 3e_2 - 7e_3$

(2) $u \times v = -17e_1 - 2e_2 + 31e_3$

(3) $u \times v = -10e_1 + 70e_2 + 50e_3$