与えられた3つのベクトル $a = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $c = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}$ が1次独立か1次従属かを調べ、1次従属ならば、$a$ を $b$ と $c$ の1次結合で表す。

1. 問題の内容

与えられた3つのベクトル $a = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $c = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}$ が1次独立か1次従属かを調べ、1次従属ならば、$a$ を $b$ と $c$ の1次結合で表す。

2. 解き方の手順

まず、これらのベクトルが1次独立か従属かを調べる。そのため、$k_1 a + k_2 b + k_3 c = 0$ となるような定数 $k_1, k_2, k_3$ が存在するかどうかを調べる。

$k_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + k_3 \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この式は以下の連立方程式に変換できる：

$k_1 + 3k_2 = 0$

$2k_2 - 4k_3 = 0$

$-2k_1 - k_2 + 3k_3 = 0$

最初の式から、$k_1 = -3k_2$ が得られる。

2番目の式から、$k_2 = 2k_3$ が得られる。

これらを3番目の式に代入すると、

$-2(-3k_2) - k_2 + 3k_3 = 0$

$6k_2 - k_2 + 3k_3 = 0$

$5k_2 + 3k_3 = 0$

$5(2k_3) + 3k_3 = 0$

$10k_3 + 3k_3 = 0$

$13k_3 = 0$

よって、$k_3 = 0$ が得られる。

$k_3 = 0$ を $k_2 = 2k_3$ に代入すると、$k_2 = 0$ が得られる。

$k_2 = 0$ を $k_1 = -3k_2$ に代入すると、$k_1 = 0$ が得られる。

$k_1 = k_2 = k_3 = 0$ のみの場合、ベクトル $a, b, c$ は1次独立である。

しかし、問題文には「1次従属ならば、$a$ をその他のベクトルの1次結合で表せ」とあるので、何らかの間違いが想定される。行列式で確認する。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & -4 \\ -2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

$\det(A) = 1(2*3 - (-4)*(-1)) - 3(0*3 - (-4)*(-2)) + 0 = 1(6-4) - 3(0-8) = 2 + 24 = 26$

行列式が0でないので、3つのベクトルは1次独立。

3. 最終的な答え

ベクトル $a, b, c$ は1次独立である。

したがって、$a$ を $b$ と $c$ の1次結合で表すことはできない。