問題は、実数 $x, y$ について、以下の2つの命題を対偶を用いて証明することです。 (1) $x+y > 5$ ならば「$x > 3$ または $y > 2$」 (2) $y^2 \neq y$ ならば $y \neq 1$

1. 問題の内容

問題は、実数 $x, y$ について、以下の2つの命題を対偶を用いて証明することです。

(1) $x+y > 5$ ならば「$x > 3$ または $y > 2$」

(2) $y^2 \neq y$ ならば $y \neq 1$

2. 解き方の手順

(1) の証明

元の命題は「$x+y > 5$ ならば ($x > 3$ または $y > 2$)」です。

この対偶は「($x \leq 3$ かつ $y \leq 2$) ならば $x+y \leq 5$」となります。

証明：

$x \leq 3$ かつ $y \leq 2$ であると仮定します。

このとき、$x+y \leq 3+2 = 5$ となります。

したがって、$x+y \leq 5$ が成り立ちます。

よって、対偶が真であるため、元の命題も真です。

(2) の証明

元の命題は「$y^2 \neq y$ ならば $y \neq 1$」です。

この対偶は「$y = 1$ ならば $y^2 = y$」となります。

証明：

$y = 1$ であると仮定します。

このとき、$y^2 = 1^2 = 1$ となります。

したがって、$y^2 = y = 1$ が成り立ちます。

よって、対偶が真であるため、元の命題も真です。

3. 最終的な答え

(1) $x+y > 5$ ならば「$x > 3$ または $y > 2$」は真である。

(2) $y^2 \neq y$ ならば $y \neq 1$ は真である。