与えられた命題を対偶を利用して証明する問題です。 (1) $x+y > a$ ならば「$x > a-b$ または $y > b$」 (2) $x$ についての方程式 $ax + b = 0$ がただ1つの解をもつならば $a \neq 0$

1. 問題の内容

与えられた命題を対偶を利用して証明する問題です。

(1) $x+y > a$ ならば「$x > a-b$ または $y > b$」

(2) $x$ についての方程式 $ax + b = 0$ がただ1つの解をもつならば $a \neq 0$

2. 解き方の手順

(1)

対偶を考える。「$x > a-b$ または $y > b$」の否定は「$x \leq a-b$ かつ $y \leq b$」である。

したがって、示すべき対偶は「$x \leq a-b$ かつ $y \leq b$ ならば $x+y \leq a$」である。

$x \leq a-b$ かつ $y \leq b$ であるとき、

$x + y \leq (a-b) + b = a$

よって、$x+y \leq a$ が成り立つ。

したがって、対偶が真であるから、元の命題も真である。

(2)

対偶を考える。「$a \neq 0$」の否定は「$a = 0$」である。

したがって、示すべき対偶は「$a = 0$ ならば、$ax + b = 0$ がただ1つの解をもつわけではない」である。

$a=0$ のとき、方程式は $0x + b = 0$ となる。

このとき、$b = 0$ ならば、すべての $x$ が解となるので、解は無数に存在する。

一方、$b \neq 0$ ならば、解は存在しない。

いずれにしても、ただ一つの解をもつわけではない。

したがって、対偶が真であるから、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

(1) $x \leq a-b$ かつ $y \leq b$ ならば $x+y \leq a$ を示すことで、$x+y > a$ ならば「$x > a-b$ または $y > b$」を証明した。

(2) $a = 0$ ならば、$ax + b = 0$ がただ1つの解をもつわけではないことを示すことで、$x$ についての方程式 $ax + b = 0$ がただ1つの解をもつならば $a \neq 0$ を証明した。