2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフについて、以下の条件が与えられています。 * 頂点が第1象限にある。 * 点(1, 0)を通る。 * 第2象限にある点を通る。 このとき、$a, b, c$, $b^2 - 4ac$, $a - b + c$ の符号をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフについて、以下の条件が与えられています。

* 頂点が第1象限にある。

* 点(1, 0)を通る。

* 第2象限にある点を通る。

このとき、$a, b, c$, $b^2 - 4ac$, $a - b + c$ の符号をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a, b, c$ の符号について

* グラフは上に凸なので、$a < 0$。

* 点(1, 0)を通るので、$a + b + c = 0$。

* 頂点のx座標は第1象限にあるので、$-\frac{b}{2a} > 0$。$a < 0$なので、$b < 0$。

* グラフは第2象限の点を通るので、$x < 0$のある$x$において、$y > 0$。また、点(1,0)を通るので、$x < 0$ においては$y > 0$となる部分が存在する。$y$切片の$c$はグラフとy軸との交点なので、$c > 0$。

(2) $b^2 - 4ac$ の符号について

* グラフはx軸と(1,0)で交わり、さらに第2象限でグラフがx軸と交わらない範囲で点を通ることから、x軸と異なる2点で交わる。したがって、$b^2 - 4ac > 0$。

(3) $a - b + c$ の符号について

* $a + b + c = 0$より、$a + c = -b$。

* $a - b + c = a + c - b = -b - b = -2b$。

* $b < 0$より、$-2b > 0$。したがって、$a - b + c > 0$。

3. 最終的な答え

(1) $a < 0$, $b < 0$, $c > 0$

(2) $b^2 - 4ac > 0$

(3) $a - b + c > 0$