問題は3つあります。 問題7：${}_5 P_3 \times {}_6 C_3 \over 4!$ の値を求めよ。 問題8：$\frac{3}{x^2-9} - \frac{1}{x^2+4x+3}$ を計算せよ。 問題9：2次方程式 $2x^2 - 6x + 15 = 0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とするとき、$\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$の値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

問題7：${}_5 P_3 \times {}_6 C_3 \over 4!$ の値を求めよ。

問題8：$\frac{3}{x^2-9} - \frac{1}{x^2+4x+3}$ を計算せよ。

問題9：2次方程式 $2x^2 - 6x + 15 = 0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とするとき、$\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

問題7：

順列と組み合わせの公式を使って計算します。

${}_5 P_3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$

${}_6 C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

よって、$\frac{{}_5 P_3 \times {}_6 C_3}{4!} = \frac{60 \times 20}{24} = \frac{1200}{24} = 50$

問題8：

$\frac{3}{x^2-9} - \frac{1}{x^2+4x+3}$ を計算します。

まず、分母を因数分解します。

$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$

$x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)$

$\frac{3}{(x-3)(x+3)} - \frac{1}{(x+1)(x+3)}$

通分します。

$\frac{3(x+1)}{(x-3)(x+3)(x+1)} - \frac{(x-3)}{(x-3)(x+3)(x+1)}$

$\frac{3(x+1) - (x-3)}{(x-3)(x+3)(x+1)} = \frac{3x+3-x+3}{(x-3)(x+3)(x+1)} = \frac{2x+6}{(x-3)(x+3)(x+1)} = \frac{2(x+3)}{(x-3)(x+3)(x+1)} = \frac{2}{(x-3)(x+1)}$

問題9：

2次方程式 $2x^2 - 6x + 15 = 0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とするとき、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{-6}{2} = 3$

$\alpha \beta = \frac{15}{2}$

$\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = \alpha \beta (\alpha + \beta)$

$= \frac{15}{2} \times 3 = \frac{45}{2}$

3. 最終的な答え

問題7：50

問題8：$\frac{2}{(x-3)(x+1)}$

問題9：$\frac{45}{2}$