実数 $x, y$ が $x^2 + 3y^2 = 9$ を満たすとき、$x + y^2 - 1$ の最大値と最小値を求め、それぞれの最大値、最小値を与える $x, y$ の値を求める問題です。

## 問題1

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が $x^2 + 3y^2 = 9$ を満たすとき、$x + y^2 - 1$ の最大値と最小値を求め、それぞれの最大値、最小値を与える $x, y$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 3y^2 = 9$ より、$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{3} = 1$ となり、$x = 3\cos\theta, y = \sqrt{3}\sin\theta$ とおくことができます。このとき、

$$$$

x + y^2 - 1 = 3\cos\theta + 3\sin^2\theta - 1 = 3\cos\theta + 3(1 - \cos^2\theta) - 1 = -3\cos^2\theta + 3\cos\theta + 2

$$$$

となります。

ここで、$t = \cos\theta$ とおくと、 $-1 \le t \le 1$ であり、求める値は $-3t^2 + 3t + 2$ の最大値と最小値です。

$f(t) = -3t^2 + 3t + 2 = -3(t^2 - t) + 2 = -3(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} + 2 = -3(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4}$

となります。

最大値：

$t = \frac{1}{2}$ のとき、すなわち $\cos\theta = \frac{1}{2}$ のとき、$f(t) = \frac{11}{4}$ となり、最大値は $\frac{11}{4}$ です。

$\cos\theta = \frac{1}{2}$ より、$x = 3\cos\theta = \frac{3}{2}$、 $y^2 = 3\sin^2\theta = 3(1 - \cos^2\theta) = 3(1 - \frac{1}{4}) = \frac{9}{4}$ より、$y = \pm\frac{3}{2}$

このとき、 $x + y^2 - 1 = \frac{3}{2} + \frac{9}{4} - 1 = \frac{6 + 9 - 4}{4} = \frac{11}{4}$ となります。

最小値：

$t = -1$ のとき、すなわち $\cos\theta = -1$ のとき、$f(t) = -3(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -3 - 3 + 2 = -4$ となり、最小値は $-4$ です。

$\cos\theta = -1$ より、$x = 3\cos\theta = -3$、 $y^2 = 3\sin^2\theta = 3(1 - \cos^2\theta) = 3(1 - 1) = 0$ より、$y = 0$

このとき、 $x + y^2 - 1 = -3 + 0 - 1 = -4$ となります。

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{11}{4}$ ($x = \frac{3}{2}, y = \pm\frac{3}{2}$ のとき)

最小値：$-4$ ($x = -3, y = 0$ のとき)

## 問題2

1. 問題の内容

1から6までの目が出る確率がそれぞれ異なるサイコロを3回振るとき、

(1) 1の目と6の目がそれぞれ1回だけ出る確率を求める。

(2) 出た目の数の積が12となる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 1の目が出る確率は $\frac{1}{4}$、6の目が出る確率は $\frac{1}{12}$、それ以外の目が出る確率は $1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{12 - 3 - 1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

1の目と6の目が1回ずつ出る確率は、どの順番で出るかを考慮すると、

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3! \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{12} \times \frac{2}{3} \div 1! \div 1! \div 1! = \frac{3 \times 2 \times 1}{1 \times 1 \times 1} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{12} \times \frac{2}{3} = 6 \times \frac{2}{144} = \frac{12}{144} = \frac{1}{12}

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(2) 積が12となる目の出方は、(1,2,6), (1,3,4), (2,2,3) の3パターン。

それぞれの確率を計算する。

(1,2,6): $\frac{1}{4} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{12} \times 3! = \frac{1}{4} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{12} \times 6 = \frac{6}{288} = \frac{1}{48}$

(1,3,4): $\frac{1}{4} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times 3! = \frac{1}{4} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times 6 = \frac{6}{144} = \frac{1}{24}$

(2,2,3): $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{3!}{2!} = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times 3 = \frac{3}{216} = \frac{1}{72}$

合計: $\frac{1}{48} + \frac{1}{24} + \frac{1}{72} = \frac{3 + 6 + 2}{144} = \frac{11}{144}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{12}$

(2) $\frac{11}{144}$