$2^x - 2^{-x} = 1$ のとき、次の値を求める。 (ア) $4^x + 4^{-x}$ (イ) $2^x + 2^{-x}$ (ウ) $8^x - 8^{-x}$

1. 問題の内容

$2^x - 2^{-x} = 1$ のとき、次の値を求める。

(ア) $4^x + 4^{-x}$

(イ) $2^x + 2^{-x}$

(ウ) $8^x - 8^{-x}$

2. 解き方の手順

(ア) $4^x + 4^{-x}$

$4^x + 4^{-x} = (2^x)^2 + (2^{-x})^2 = (2^x - 2^{-x})^2 + 2(2^x)(2^{-x})$

$2^x - 2^{-x} = 1$ なので、

$4^x + 4^{-x} = 1^2 + 2(2^x)(2^{-x}) = 1 + 2(2^{x-x}) = 1 + 2(2^0) = 1 + 2(1) = 3$

(イ) $2^x + 2^{-x}$

$(2^x + 2^{-x})^2 = (2^x)^2 + 2(2^x)(2^{-x}) + (2^{-x})^2 = 4^x + 2 + 4^{-x}$

(ア) より $4^x + 4^{-x} = 3$ なので、

$(2^x + 2^{-x})^2 = 3 + 2 = 5$

$2^x + 2^{-x} > 0$ より、 $2^x + 2^{-x} = \sqrt{5}$

(ウ) $8^x - 8^{-x}$

$8^x - 8^{-x} = (2^x)^3 - (2^{-x})^3 = (2^x - 2^{-x})((2^x)^2 + (2^x)(2^{-x}) + (2^{-x})^2)$

$= (2^x - 2^{-x})(4^x + 1 + 4^{-x})$

$2^x - 2^{-x} = 1$ であり、(ア) より $4^x + 4^{-x} = 3$ なので、

$8^x - 8^{-x} = (1)(3 + 1) = 4$

3. 最終的な答え

(ア) $4^x + 4^{-x} = 3$

(イ) $2^x + 2^{-x} = \sqrt{5}$

(ウ) $8^x - 8^{-x} = 4$