与えられた対数の割り算 $\log_4 3 \div \log_{\frac{1}{8}} 9$ を計算せよ。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた対数の割り算 $\log_4 3 \div \log_{\frac{1}{8}} 9$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、底の変換公式を用いて、対数の底を共通の底（ここでは10）に変換します。

底の変換公式は以下の通りです。

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

この公式を使って、与えられた対数を変換します。

$\log_4 3 = \frac{\log 3}{\log 4}$

$\log_{\frac{1}{8}} 9 = \frac{\log 9}{\log \frac{1}{8}}$

次に、割り算を計算します。

$\frac{\log_4 3}{\log_{\frac{1}{8}} 9} = \frac{\frac{\log 3}{\log 4}}{\frac{\log 9}{\log \frac{1}{8}}} = \frac{\log 3}{\log 4} \cdot \frac{\log \frac{1}{8}}{\log 9}$

ここで、$\log 4 = \log 2^2 = 2\log 2$、$\log 9 = \log 3^2 = 2\log 3$、$\log \frac{1}{8} = \log 2^{-3} = -3\log 2$ であることに注意します。

これらを代入すると、

$\frac{\log 3}{2\log 2} \cdot \frac{-3\log 2}{2\log 3} = \frac{\log 3}{\log 3} \cdot \frac{\log 2}{\log 2} \cdot \frac{-3}{2 \cdot 2}$

$= 1 \cdot 1 \cdot \frac{-3}{4} = -\frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{4}$