与えられた実対称行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ を直交行列 $T$ によって対角化し、対角行列と直交行列を求める。

1. 問題の内容

与えられた実対称行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ を直交行列 $T$ によって対角化し、対角行列と直交行列を求める。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の固有値を求める。固有方程式は、

$\det(A - \lambda I) = 0$

$\det \begin{pmatrix} -\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 1 & 0 & -\lambda \end{pmatrix} = 0$

$(1-\lambda)(\lambda^2 - 1) = 0$

$(1-\lambda)(\lambda - 1)(\lambda + 1) = 0$

$(\lambda - 1)^2(\lambda + 1) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 1$, $\lambda_3 = -1$ である。

(2) 各固有値に対応する固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = 1$ のとき:

$(A - I)v = 0$

$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + z = 0$ より $x = z$。$y$ は任意。

固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$。

これらは直交していないので、グラム・シュミットの正規直交化法を用いて正規直交基底を求める。

$u_1 = \frac{v_1}{||v_1||} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

$v_2' = v_2 - (v_2 \cdot u_1) u_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - 0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$u_2 = \frac{v_2'}{||v_2'||} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\lambda_3 = -1$ のとき:

$(A + I)v = 0$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + z = 0$ かつ $2y = 0$ より $y = 0$, $z = -x$。

固有ベクトルは $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$。

$u_3 = \frac{v_3}{||v_3||} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

(3) 正規直交化した固有ベクトルを並べて直交行列 $T$ を作る。

$T = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

(4) 対角行列 $D$ は、固有値を対角成分に並べたもの。

$D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

対角行列: $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

直交行列: $T = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$