(1) $(x-2)^{11}$ の展開式における $x$ の係数と定数項を求めよ。 (2) $28^{11}$ を $900$ で割った余りを求めよ。

1. 問題の内容

(1) $(x-2)^{11}$ の展開式における $x$ の係数と定数項を求めよ。

(2) $28^{11}$ を $900$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を用いて $(x-2)^{11}$ を展開する。

$$(x-2)^{11} = \sum_{k=0}^{11} {}_{11} C_k x^{11-k} (-2)^k$$

$x$ の係数は $11-k=1$ のとき、つまり $k=10$ のときである。

$${}_{11} C_{10} x^1 (-2)^{10} = 11 \cdot x \cdot 1024 = 11264x$$

よって、$x$ の係数は $11264$ である。

定数項は $11-k=0$ のとき、つまり $k=11$ のときである。

$${}_{11} C_{11} x^0 (-2)^{11} = 1 \cdot 1 \cdot (-2048) = -2048$$

よって、定数項は $-2048$ である。

(2) $28^{11}$ を $900$ で割った余りを求める。

$28 = 30 - 2$ とすると、

$28^{11} = (30 - 2)^{11} = \sum_{k=0}^{11} {}_{11} C_k (30)^{11-k} (-2)^k$

$900 = 30^2$ であるから、$30^2$ 以上の項は $900$ で割り切れる。

よって、$900$ で割った余りを求めるときは、$k=9, 10, 11$ の項のみを考えれば良い。

$${}_{11} C_9 (30)^2 (-2)^9 + {}_{11} C_{10} (30)^1 (-2)^{10} + {}_{11} C_{11} (30)^0 (-2)^{11}$$

$$= 55 \cdot 900 \cdot (-512) + 11 \cdot 30 \cdot 1024 + 1 \cdot 1 \cdot (-2048)$$

$$= 55 \cdot 900 \cdot (-512) + 330 \cdot 1024 - 2048$$

$900$ で割った余りを求めれば良いので、$330 \cdot 1024 - 2048$ について考える。

$330 \cdot 1024 - 2048 = 330 \cdot (900+124) - 2048 = 330 \cdot 900 + 330 \cdot 124 - 2048$

$330 \cdot 124 = 40920$ であるから、 $40920 - 2048$ を計算する。

$40920 - 2048 = 38872$

$38872 = 900 \cdot 43 + 180 + 80 + 72 = 900 \cdot 43 + 872$

$38872 = 900 \cdot 43 + 872$

したがって、 $28^{11}$ を $900$ で割った余りは $872$ である。

3. 最終的な答え

(1) $x$ の係数: 11264, 定数項: -2048

(2) 余り: 872