行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & -4 & 2 & 4 \\ -3 & 6 & -1 & -7 \end{pmatrix}$ で定まる線形写像 $f_A$ の核 $\text{Ker} f_A$ と像 $\text{Im} f_A$ の次元と基底をそれぞれ1組ずつ求める。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & -4 & 2 & 4 \\ -3 & 6 & -1 & -7 \end{pmatrix}$ で定まる線形写像 $f_A$ の核 $\text{Ker} f_A$ と像 $\text{Im} f_A$ の次元と基底をそれぞれ1組ずつ求める。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ を行基本変形して簡約化します。

$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & -4 & 2 & 4 \\ -3 & 6 & -1 & -7 \end{pmatrix}$

1. 2行目を1行目の-2倍を足す。3行目に1行目の3倍を足す。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 8 & -4 \end{pmatrix}$

2. 3行目に2行目の2倍を足す。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

3. 2行目を-1/4倍する。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

4. 1行目に2行目の-3倍を足す。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 5/2 \\ 0 & 0 & 1 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

簡約化された行列は $\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 5/2 \\ 0 & 0 & 1 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ です。

$\text{Ker} f_A$ を求める。

$Ax = 0$ となる $x$ を求める。$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}$ とすると、

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 5/2 \\ 0 & 0 & 1 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x_1 - 2x_2 + (5/2)x_4 = 0$ より $x_1 = 2x_2 - (5/2)x_4$

$x_3 - (1/2)x_4 = 0$ より $x_3 = (1/2)x_4$

したがって、$x = \begin{pmatrix} 2x_2 - (5/2)x_4 \\ x_2 \\ (1/2)x_4 \\ x_4 \end{pmatrix} = x_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + x_4 \begin{pmatrix} -5/2 \\ 0 \\ 1/2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\text{Ker} f_A$ の基底は $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -5/2 \\ 0 \\ 1/2 \\ 1 \end{pmatrix}$。次元は2。

$\text{Im} f_A$ を求める。

簡約化された行列から、rankは2。よって、像の次元は2。

基底は元の行列の1, 3列から $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$。

3. 最終的な答え

$\text{Ker} f_A$ の次元は2で、基底は $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -5/2 \\ 0 \\ 1/2 \\ 1 \end{pmatrix}$。

$\text{Im} f_A$ の次元は2で、基底は $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$。