数列 $\{a_n\}$ は、初期値 $a_1 = 2$, $a_2 = 3$ と漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ で定義される。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は、初期値 $a_1 = 2$, $a_2 = 3$ と漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ で定義される。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ の特性方程式を解く。特性方程式は $x^2 = x + 2$ である。

この方程式を解くと、

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

$x = 2, -1$

よって、数列の一般項は $a_n = A(2)^n + B(-1)^n$ の形になる。ここで、$A$ と $B$ は定数である。

初期条件 $a_1 = 2$ と $a_2 = 3$ を用いて、$A$ と $B$ を決定する。

$a_1 = 2A - B = 2$

$a_2 = 4A + B = 3$

これらの連立方程式を解く。2つの式を足すと、

$6A = 5$

$A = \frac{5}{6}$

$B = 2A - 2 = \frac{5}{3} - 2 = -\frac{1}{3}$

したがって、$a_n = \frac{5}{6}(2)^n - \frac{1}{3}(-1)^n$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{5}{6}(2)^n - \frac{1}{3}(-1)^n$

もしくは

$a_n = \frac{5 \cdot 2^n - 2 \cdot (-1)^n}{6}$