x, y は実数とします。対偶を考えて、以下の命題を証明します。 (1) $x + y > 5$ ならば「$x > 3$ または $y > 2$」 (2) $y^2 \neq y$ ならば $y \neq 1$

1. 問題の内容

x, y は実数とします。対偶を考えて、以下の命題を証明します。

(1) $x + y > 5$ ならば「$x > 3$ または $y > 2$」

(2) $y^2 \neq y$ ならば $y \neq 1$

2. 解き方の手順

(1)

元の命題: $x + y > 5$ ならば「$x > 3$ または $y > 2$」

対偶: 「$x \leq 3$ かつ $y \leq 2$」ならば $x + y \leq 5$

対偶を証明する。

$x \leq 3$ かつ $y \leq 2$ のとき、$x + y \leq 3 + 2 = 5$

したがって、$x + y \leq 5$ が成り立つ。

よって、対偶は真であり、元の命題も真である。

(2)

元の命題: $y^2 \neq y$ ならば $y \neq 1$

対偶: $y = 1$ ならば $y^2 = y$

対偶を証明する。

$y = 1$ のとき、$y^2 = 1^2 = 1$

したがって、$y^2 = y$ が成り立つ。

よって、対偶は真であり、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

(1) 対偶：「$x \leq 3$ かつ $y \leq 2$」ならば $x + y \leq 5$ は真なので、元の命題も真である。

(2) 対偶: $y = 1$ ならば $y^2 = y$ は真なので、元の命題も真である。