与えられた不等式 $3x + 2y \ge 4$, $2x + y \le 5$, $x + 3y \le 9$ を満たす $x, y$ に対して、$x - y$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $3x + 2y \ge 4$, $2x + y \le 5$, $x + 3y \le 9$ を満たす $x, y$ に対して、$x - y$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式をグラフに描き、領域を求める。

$3x + 2y \ge 4$ を $y \ge -\frac{3}{2}x + 2$ と変形する。

$2x + y \le 5$ を $y \le -2x + 5$ と変形する。

$x + 3y \le 9$ を $y \le -\frac{1}{3}x + 3$ と変形する。

これらの不等式を満たす領域を図示する。

次に、領域の頂点の座標を求める。

(1) $3x + 2y = 4$ と $2x + y = 5$ の交点:

$3x + 2y = 4$, $4x + 2y = 10$ より、$-x = -6$ なので $x = 6$。 $y = 5 - 2x = 5 - 12 = -7$。よって $(6, -7)$

(2) $2x + y = 5$ と $x + 3y = 9$ の交点:

$6x + 3y = 15$, $x + 3y = 9$ より、 $5x = 6$ なので $x = \frac{6}{5}$。 $y = 5 - 2x = 5 - \frac{12}{5} = \frac{25 - 12}{5} = \frac{13}{5}$。よって $(\frac{6}{5}, \frac{13}{5})$

(3) $3x + 2y = 4$ と $x + 3y = 9$ の交点:

$9x + 6y = 12$, $2x + 6y = 18$ より、 $7x = -6$ なので $x = -\frac{6}{7}$。 $3y = 9 - x = 9 + \frac{6}{7} = \frac{63 + 6}{7} = \frac{69}{7}$。 $y = \frac{23}{7}$。よって $(-\frac{6}{7}, \frac{23}{7})$

これらの頂点の座標を用いて、$x - y$ の値を計算する。

(1) $6 - (-7) = 13$

(2) $\frac{6}{5} - \frac{13}{5} = -\frac{7}{5}$

(3) $-\frac{6}{7} - \frac{23}{7} = -\frac{29}{7}$

しかし、領域を正しく設定すると、以下の交点を考えればよい。

$3x + 2y = 4$ と $2x + y = 5$ の交点 $(6, -7)$ は、領域に含まれません。

(1) $2x+y=5$ と $x+3y=9$ の交点: $x = 6/5$, $y = 13/5$

(2) $3x+2y=4$ と $x+3y=9$ の交点: $x = -6/7$, $y = 23/7$

(3) $3x+2y=4$ と $x=0$ の交点: $y=2$

(4) $x+3y=9$ と $x=0$ の交点: $y=3$

(5) $2x+y=5$ と $x=0$ の交点: $y=5$

したがって,領域の頂点として

(6/5, 13/5), (-6/7, 23/7), (0, 2), (0, 3) のみ考えればよい

x-y の値を計算する

(1) 6/5-13/5 = -7/5 = -1.4

(2) -6/7 - 23/7 = -29/7 = -4.14

(3) 0 - 2 = -2

(4) 0 - 3 = -3

また、$x=2, y=1$は、$3x+2y=8 \ge 4$, $2x+y=5 \le 5$, $x+3y = 5 \le 9$を満たす。 $x-y=1$

$x=1, y=2$: $3x+2y = 7 > 4$, $2x+y = 4 < 5$, $x+3y = 7 < 9$ よって$x - y = -1$

$x=2, y=5/3$: $3x+2y = 6 + 10/3 = 28/3 > 4$, $2x+y = 4 + 5/3 = 17/3 < 5$, $x+3y = 2 + 5 = 7 < 9$, よって$x - y = 1/3$

$x-y = k$とおくと$y=x-k$. これを不等式に代入して吟味する

頂点 (2,1): x-y = 1, 頂点(3,0):x-y=3,

領域の端点として (2,1), (3,0)が考えられる．

$x-y$の最大値は, $x=2$, $y=1$のとき, 最大値 $1$.

$x = -\frac{6}{7}$, $y = \frac{23}{7}$のとき、 $x-y = -\frac{6}{7} - \frac{23}{7} = -\frac{29}{7}$

3. 最終的な答え

x - y は x = 2, y = 1 のときに最大値 1 をとる。

x - y は x = -6/7, y = 23/7 のときに最小値 -29/7 をとる。

よって、

1: 2

2: 1

3,4: 1

5: 6

6: 7

7,8: 23

9: 7

10,11: 29

12: 7