与えられた $\log_{10}2 = 0.3010$ と $\log_{10}3 = 0.4771$ を用いて、以下の問題を解く。 (1) $32^6$ の桁数を求める。 (2) $(\frac{3}{8})^{40}$ が小数第何位で初めて0でない数が現れるかを求める。

1. 問題の内容

与えられた $\log_{10}2 = 0.3010$ と $\log_{10}3 = 0.4771$ を用いて、以下の問題を解く。

(1) $32^6$ の桁数を求める。

(2) $(\frac{3}{8})^{40}$ が小数第何位で初めて0でない数が現れるかを求める。

2. 解き方の手順

(1) $32^6$ の桁数を求める。

$32^6$ の常用対数を計算する。

$\log_{10}(32^6) = 6\log_{10}32 = 6\log_{10}(2^5) = 6 \cdot 5\log_{10}2 = 30\log_{10}2$

$\log_{10}2 = 0.3010$ を代入して、

$30 \cdot 0.3010 = 9.030$

ここで、$\log_{10}(32^6) = 9.030$ なので、$32^6 = 10^{9.030} = 10^{9} \times 10^{0.030}$ となる。

$10^{0.030}$ は1より大きい数なので、$32^6$ は10桁の数である。

(2) $(\frac{3}{8})^{40}$ が小数第何位で初めて0でない数が現れるかを求める。

$(\frac{3}{8})^{40}$ の常用対数を計算する。

$\log_{10} \left( \frac{3}{8} \right)^{40} = 40\log_{10} \left( \frac{3}{8} \right) = 40 (\log_{10}3 - \log_{10}8) = 40 (\log_{10}3 - \log_{10}2^3)$

$= 40 (\log_{10}3 - 3\log_{10}2)$

$\log_{10}3 = 0.4771$ と $\log_{10}2 = 0.3010$ を代入して、

$40 (0.4771 - 3 \cdot 0.3010) = 40 (0.4771 - 0.9030) = 40 (-0.4259) = -17.036$

ここで、$\log_{10} \left( \frac{3}{8} \right)^{40} = -17.036$ なので、$(\frac{3}{8})^{40} = 10^{-17.036} = 10^{-18} \times 10^{0.964}$ となる。

$10^{0.964}$ は1より大きい数なので、$(\frac{3}{8})^{40}$ は小数第18位で初めて0でない数が現れる。

3. 最終的な答え

(1) 10

(2) 18