与えられた行列 $A$ の固有値と固有ベクトルを求めます。行列 $A$ は以下の通りです。 $A = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 4 \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & -1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の固有値と固有ベクトルを求めます。行列 $A$ は以下の通りです。

$A = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 4 \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & -1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、固有方程式を求めます。固有方程式は $\det(A - \lambda I) = 0$ で与えられます。ここで、$\lambda$ は固有値を表し、$I$ は単位行列です。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 5-\lambda & -4 & 4 \\ 1 & 2-\lambda & 0 \\ -1 & 3 & -1-\lambda \end{pmatrix}$

次に、行列式を計算します。

\begin{align*}

\det(A - \lambda I) &= (5-\lambda) \begin{vmatrix} 2-\lambda & 0 \\ 3 & -1-\lambda \end{vmatrix} - (-4) \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & -1-\lambda \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 1 & 2-\lambda \\ -1 & 3 \end{vmatrix} \\

&= (5-\lambda)((2-\lambda)(-1-\lambda) - 0) + 4(1(-1-\lambda) - 0) + 4(1(3) - (2-\lambda)(-1)) \\

&= (5-\lambda)(-2 -2\lambda + \lambda + \lambda^2) + 4(-1-\lambda) + 4(3 + 2 - \lambda) \\

&= (5-\lambda)(\lambda^2 - \lambda - 2) - 4 - 4\lambda + 20 - 4\lambda \\

&= 5\lambda^2 - 5\lambda - 10 - \lambda^3 + \lambda^2 + 2\lambda - 4 - 4\lambda + 20 - 4\lambda \\

&= -\lambda^3 + 6\lambda^2 - 11\lambda + 6

\end{align*}

固有方程式は $-\lambda^3 + 6\lambda^2 - 11\lambda + 6 = 0$ です。これに $-1$ をかけると

$\lambda^3 - 6\lambda^2 + 11\lambda - 6 = 0$ となります。

この三次方程式を解きます。$\lambda = 1$ を代入すると、$1 - 6 + 11 - 6 = 0$ となり、$\lambda = 1$ は解の一つであることがわかります。

したがって、$(\lambda - 1)$ で因数分解できます。

$\lambda^3 - 6\lambda^2 + 11\lambda - 6 = (\lambda - 1)(\lambda^2 - 5\lambda + 6) = (\lambda - 1)(\lambda - 2)(\lambda - 3) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 2$, $\lambda_3 = 3$ です。

次に、固有ベクトルを求めます。

(i) $\lambda_1 = 1$ のとき、

$(A - I)v_1 = 0$

$\begin{pmatrix} 4 & -4 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$4x - 4y + 4z = 0 \implies x - y + z = 0$

$x + y = 0 \implies x = -y$

$-x + 3y - 2z = 0$

$-(-y) + 3y - 2z = 0 \implies 4y - 2z = 0 \implies z = 2y$

$x = -y$, $z = 2y$ なので、$v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

(ii) $\lambda_2 = 2$ のとき、

$(A - 2I)v_2 = 0$

$\begin{pmatrix} 3 & -4 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$3x - 4y + 4z = 0$

$x = 0$

$-x + 3y - 3z = 0 \implies 3y - 3z = 0 \implies y = z$

$x = 0$, $y = z$ なので、$v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(iii) $\lambda_3 = 3$ のとき、

$(A - 3I)v_3 = 0$

$\begin{pmatrix} 2 & -4 & 4 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x - 4y + 4z = 0 \implies x - 2y + 2z = 0$

$x - y = 0 \implies x = y$

$-x + 3y - 4z = 0$

$-y + 3y - 4z = 0 \implies 2y - 4z = 0 \implies y = 2z$

$x = y = 2z$ なので、$v_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

固有値: $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 3$

固有ベクトル: $v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, v_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$