3次元ベクトル $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}$, $\mathbf{w} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下のものを求める。 (1) 外積 $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ と $\mathbf{u} \times \mathbf{w}$ (2) ベクトル $\mathbf{u}$ と $\mathbf{w}$ で作られる平行四辺形の面積

1. 問題の内容

3次元ベクトル $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}$, $\mathbf{w} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下のものを求める。

(1) 外積 $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ と $\mathbf{u} \times \mathbf{w}$

(2) ベクトル $\mathbf{u}$ と $\mathbf{w}$ で作られる平行四辺形の面積

2. 解き方の手順

(1) 外積 $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ と $\mathbf{u} \times \mathbf{w}$ を計算する。外積の定義に従い、以下の公式を使用する。

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}$

$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-3)(-5) - (4)(0) \\ (4)(1) - (2)(-5) \\ (2)(0) - (-3)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 14 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\mathbf{u} \times \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-3)(3) - (4)(-1) \\ (4)(-2) - (2)(3) \\ (2)(-1) - (-3)(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 + 4 \\ -8 - 6 \\ -2 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -14 \\ -8 \end{pmatrix}$

(2) ベクトル $\mathbf{u}$ と $\mathbf{w}$ で作られる平行四辺形の面積は、外積 $\mathbf{u} \times \mathbf{w}$ の絶対値に等しい。

平行四辺形の面積 $= |\mathbf{u} \times \mathbf{w}| = \sqrt{(-5)^2 + (-14)^2 + (-8)^2} = \sqrt{25 + 196 + 64} = \sqrt{285}$

3. 最終的な答え

(1) $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 15 \\ 14 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\mathbf{u} \times \mathbf{w} = \begin{pmatrix} -5 \\ -14 \\ -8 \end{pmatrix}$

(2) 平行四辺形の面積 $= \sqrt{285}$