(1) 実数 $x, y, a, b$ について、命題「$x+y > a$ ならば、$x > a-b$ または $y > b$」を対偶を利用して証明する。 (2) 実数 $a, b$ について、$x$ についての方程式 $ax+b=0$ がただ1つの解をもつならば、$a \neq 0$ を対偶を利用して証明する。

1. 問題の内容

(1) 実数 $x, y, a, b$ について、命題「$x+y > a$ ならば、$x > a-b$ または $y > b$」を対偶を利用して証明する。

(2) 実数 $a, b$ について、$x$ についての方程式 $ax+b=0$ がただ1つの解をもつならば、$a \neq 0$ を対偶を利用して証明する。

2. 解き方の手順

(1)

対偶を作る:

元の命題が「$P$ ならば $Q$」のとき、対偶は「$Q$ でないならば $P$ でない」となる。

この問題の場合、$P$ は $x+y>a$ で、$Q$ は「$x > a-b$ または $y > b$」である。

したがって、$Q$ でないは「$x \leq a-b$ かつ $y \leq b$」となり、$P$ でないは $x+y \leq a$ である。

対偶の命題は「$x \leq a-b$ かつ $y \leq b$ ならば $x+y \leq a$」となる。

対偶を証明する:

$x \leq a-b$ かつ $y \leq b$ を仮定する。このとき、$x+y \leq (a-b) + b$ となる。

したがって、$x+y \leq a$ となる。

よって、対偶が真であるから、元の命題も真である。

(2)

対偶を作る:

元の命題が「$P$ ならば $Q$」のとき、対偶は「$Q$ でないならば $P$ でない」となる。

この問題の場合、$P$ は「方程式 $ax+b=0$ がただ1つの解をもつ」で、$Q$ は $a \neq 0$ である。

したがって、$Q$ でないは $a = 0$ で、$P$ でないは「方程式 $ax+b=0$ がただ1つの解をもたない」である。

対偶の命題は「$a = 0$ ならば、方程式 $ax+b=0$ がただ1つの解をもたない」となる。

対偶を証明する:

$a = 0$ を仮定する。

このとき、方程式 $ax+b=0$ は $0x+b=0$ となる。

(i) $b \neq 0$ のとき、$0x+b=0$ は解を持たない。

(ii) $b = 0$ のとき、$0x+0=0$ はすべての実数 $x$ が解となる。したがって、解は一つではない。

いずれの場合も、方程式 $ax+b=0$ はただ1つの解をもたない。

よって、対偶が真であるから、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

(1) (証明) $x \leq a-b$ かつ $y \leq b$ ならば $x+y \leq a$ である。

(2) (証明) $a = 0$ ならば、方程式 $ax+b=0$ はただ1つの解をもたない。