(1) $t = \sin{\theta} + \cos{\theta}$ とおくとき、$\sin{\theta}\cos{\theta}$ を $t$ を用いて表せ。 (2) $0 \le \theta \le \pi$ のとき、$t = \sin{\theta} + \cos{\theta}$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (3) $0 \le \theta \le \pi$ のとき、$\theta$ の方程式 $2\sin{\theta}\cos{\theta} - 2(\sin{\theta} + \cos{\theta}) - k = 0$ の解の個数を、定数 $k$ が $k = 1$, $k = -1.9$ の場合について調べよ。

1. 問題の内容

(1) $t = \sin{\theta} + \cos{\theta}$ とおくとき、$\sin{\theta}\cos{\theta}$ を $t$ を用いて表せ。

(2) $0 \le \theta \le \pi$ のとき、$t = \sin{\theta} + \cos{\theta}$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(3) $0 \le \theta \le \pi$ のとき、$\theta$ の方程式 $2\sin{\theta}\cos{\theta} - 2(\sin{\theta} + \cos{\theta}) - k = 0$ の解の個数を、定数 $k$ が $k = 1$, $k = -1.9$ の場合について調べよ。

2. 解き方の手順

(1) $t = \sin{\theta} + \cos{\theta}$ の両辺を2乗すると、

$$t^2 = (\sin{\theta} + \cos{\theta})^2 = \sin^2{\theta} + 2\sin{\theta}\cos{\theta} + \cos^2{\theta} = 1 + 2\sin{\theta}\cos{\theta}$$

したがって、

$$2\sin{\theta}\cos{\theta} = t^2 - 1$$

$$\sin{\theta}\cos{\theta} = \frac{t^2 - 1}{2}$$

(2) $t = \sin{\theta} + \cos{\theta} = \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$

$0 \le \theta \le \pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}$

したがって、$-\frac{\sqrt{2}}{2} \le \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1$

よって、$t$ の範囲は、$-1 \le \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$

$-1 \le t \le \sqrt{2}$

(3) $2\sin{\theta}\cos{\theta} - 2(\sin{\theta} + \cos{\theta}) - k = 0$ に、$\sin{\theta}\cos{\theta} = \frac{t^2 - 1}{2}$ と $t = \sin{\theta} + \cos{\theta}$ を代入すると、

$2(\frac{t^2 - 1}{2}) - 2t - k = 0$

$t^2 - 1 - 2t - k = 0$

$t^2 - 2t - 1 - k = 0$

$t^2 - 2t - 1 = k$

$y = t^2 - 2t - 1 = (t - 1)^2 - 2$ とおくと、このグラフと $y = k$ のグラフの交点の個数を調べれば良い。ただし、$-1 \le t \le \sqrt{2}$ である。

$t = -1$ のとき $y = (-1 - 1)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$

$t = \sqrt{2}$ のとき $y = (\sqrt{2} - 1)^2 - 2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 - 2 = 1 - 2\sqrt{2}$

$k = 1$ のとき、 $(t - 1)^2 - 2 = 1$ より $(t - 1)^2 = 3$, $t - 1 = \pm\sqrt{3}$。

$t = 1 \pm \sqrt{3}$ であり、$t = 1 - \sqrt{3}$ は $-1 \le t \le \sqrt{2}$ を満たす。また、$1-\sqrt{3} \approx -0.73$ 。

$k=1$のときの$t$の値に対応する$\theta$は、1つである。

$k = -1.9$ のとき、$(t - 1)^2 - 2 = -1.9$ より $(t - 1)^2 = 0.1$, $t - 1 = \pm\sqrt{0.1}$。

$t = 1 \pm \sqrt{0.1}$ であり、$t = 1 \pm \sqrt{0.1}$ は $-1 \le t \le \sqrt{2}$ を満たす。$1+\sqrt{0.1}\approx 1.32$ 、$1-\sqrt{0.1}\approx 0.68$。

$t= \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin (\theta + \pi/4)$ であり、$0 \le \theta \le \pi$ の範囲では、$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ 。

$-1 \le t \le \sqrt{2}$ の範囲では、$y=t^2-2t-1$ と $y=k$ の交点それぞれに対して、$\theta$ の個数が変わる。

$t=1$ のとき、$\sin(\theta + \pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\theta + \pi/4 = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ よって$\theta = 0, \pi/2$であり、2個。

$1 < t < \sqrt{2}$ または $-1 < t < 1$ では$\theta$は1個。

$k=1$ のとき $t = 1 - \sqrt{3}$ で、$\theta$ は1個。

$k = -1.9$ のとき、$t=1+\sqrt{0.1}$ は1個、$t=1-\sqrt{0.1}$ も1個で、計2個。

3. 最終的な答え

(1) $\sin{\theta}\cos{\theta} = \frac{t^2 - 1}{2}$

(2) $-1 \le t \le \sqrt{2}$

(3) $k = 1$ のとき 1個, $k = -1.9$ のとき 2個