多項式 $x^4 + ax^3 + ax^2 + bx - 6$ が多項式 $x^2 - 2x + 1$ で割り切れるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

多項式 $x^4 + ax^3 + ax^2 + bx - 6$ が多項式 $x^2 - 2x + 1$ で割り切れるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$ であるため、$x^4 + ax^3 + ax^2 + bx - 6$ は $(x-1)^2$ で割り切れる。つまり、$x^4 + ax^3 + ax^2 + bx - 6$ は $(x-1)$ で2回割り切れる。

まず、$x = 1$ を代入して、$x^4 + ax^3 + ax^2 + bx - 6 = 0$ となることを利用する。

$1^4 + a(1)^3 + a(1)^2 + b(1) - 6 = 0$

$1 + a + a + b - 6 = 0$

$2a + b = 5$ …(1)

次に、$x^4 + ax^3 + ax^2 + bx - 6$ を $x-1$ で割った商を $Q(x)$ とすると、

$x^4 + ax^3 + ax^2 + bx - 6 = (x-1)Q(x)$

この式の両辺を $x$ で微分すると、

$4x^3 + 3ax^2 + 2ax + b = Q(x) + (x-1)Q'(x)$

再び $x = 1$ を代入すると、

$4(1)^3 + 3a(1)^2 + 2a(1) + b = Q(1) + (1-1)Q'(1)$

$4 + 3a + 2a + b = Q(1)$

$5a + b + 4 = Q(1)$

$x^4 + ax^3 + ax^2 + bx - 6$ が $(x-1)^2$ で割り切れるとき、$Q(1) = 0$ でなければならない。したがって、

$5a + b + 4 = 0$ …(2)

(1)式と(2)式から連立方程式を解く。

$2a + b = 5$

$5a + b = -4$

(2) - (1) を計算すると、

$3a = -9$

$a = -3$

(1)式に $a = -3$ を代入すると、

$2(-3) + b = 5$

$-6 + b = 5$

$b = 11$

3. 最終的な答え

$a = -3$

$b = 11$