$n$次正方行列$A$が任意の$n$次正方行列$B$と可換ならば、$A$はスカラー行列であることを示す。

1. 問題の内容

$n$次正方行列$A$が任意の$n$次正方行列$B$と可換ならば、$A$はスカラー行列であることを示す。

2. 解き方の手順

まず、$E_{ij}$を$(i, j)$成分が1で、それ以外の成分がすべて0である$n$次正方行列とする。行列$A$が任意行列$B$と可換であることから、$A$と$E_{ij}$も可換である。すなわち、

$AE_{ij} = E_{ij}A$

が成り立つ。

行列$A$の$(p,q)$成分を$a_{pq}$と書くことにする。$AE_{ij}$の$(p,q)$成分は、

$(AE_{ij})_{pq} = \sum_{k=1}^n a_{pk}(E_{ij})_{kq}$

ここで、$(E_{ij})_{kq}$は、$k=i$かつ$q=j$の時に1となり、それ以外は0となる。従って、

$(AE_{ij})_{pq} = a_{pi} \delta_{qj}$

ここで、$\delta_{qj}$はクロネッカーのデルタであり、$q=j$の時1、それ以外は0となる。

同様に、$E_{ij}A$の$(p,q)$成分は、

$(E_{ij}A)_{pq} = \sum_{k=1}^n (E_{ij})_{pk} a_{kq}$

ここで、$(E_{ij})_{pk}$は、$p=i$かつ$k=j$の時に1となり、それ以外は0となる。従って、

$(E_{ij}A)_{pq} = \delta_{pi} a_{jq}$

したがって、$AE_{ij} = E_{ij}A$より、

$a_{pi}\delta_{qj} = \delta_{pi} a_{jq}$

(i) $i \ne j$のとき、$p=i$かつ$q=j$とすると、$a_{ii} = a_{jj}$。したがって、$A$の対角成分はすべて等しい。

(ii) $i \ne j$のとき、$p=i$、$q \ne j$とすると、$a_{ij} \delta_{qj} = a_{iq} = \delta_{ii} a_{jq} = a_{jq} = 0$ ($q \ne j$より）。したがって、$i \ne j$ならば、$A$の$(i,q)$成分は0である。

(iii) $i=j$のとき、$p \ne i$、$q=i$とすると、$a_{pi}\delta_{ii} = a_{pi} = \delta_{pi} a_{ii} = 0$ ($p \ne i$より）。したがって、$p \ne i$ならば、$A$の$(p,i)$成分は0である。

以上のことから、行列$A$は対角成分がすべて等しく、非対角成分がすべて0である行列である。つまり、$A$はスカラー行列である。

3. 最終的な答え

行列$A$はスカラー行列である。