方程式 $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1$ を満たす正の整数の組 $(x, y)$ をすべて求め、 $x$ が小さい順に並べる。

1. 問題の内容

方程式 $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1$ を満たす正の整数の組 $(x, y)$ をすべて求め、 $x$ が小さい順に並べる。

2. 解き方の手順

与えられた方程式は

$$\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1$$

両辺に $xy$ を掛けて、

$$2y + 3x = xy$$

移項して、

$$xy - 3x - 2y = 0$$

両辺に $6$ を加えて、

$$xy - 3x - 2y + 6 = 6$$

因数分解して、

$$(x-2)(y-3) = 6$$

$x$ と $y$ は正の整数なので、$x-2$ と $y-3$ は整数の組である。

$6$ の約数の組は

$(1, 6)$, $(2, 3)$, $(3, 2)$, $(6, 1)$, $(-1, -6)$, $(-2, -3)$, $(-3, -2)$, $(-6, -1)$

である。

それぞれの場合について、$x$ と $y$ の値を求める。

(i) $(x-2, y-3) = (1, 6)$ のとき、

$x = 3, y = 9$

(ii) $(x-2, y-3) = (2, 3)$ のとき、

$x = 4, y = 6$

(iii) $(x-2, y-3) = (3, 2)$ のとき、

$x = 5, y = 5$

(iv) $(x-2, y-3) = (6, 1)$ のとき、

$x = 8, y = 4$

(v) $(x-2, y-3) = (-1, -6)$ のとき、

$x = 1, y = -3$。$y$ が正の整数でないので、不適。

(vi) $(x-2, y-3) = (-2, -3)$ のとき、

$x = 0, y = 0$。$x, y$ が正の整数でないので、不適。

(vii) $(x-2, y-3) = (-3, -2)$ のとき、

$x = -1, y = 1$。$x$ が正の整数でないので、不適。

(viii) $(x-2, y-3) = (-6, -1)$ のとき、

$x = -4, y = 2$。$x$ が正の整数でないので、不適。

したがって、条件を満たす $(x, y)$ は、$(3, 9)$, $(4, 6)$, $(5, 5)$, $(8, 4)$ である。

3. 最終的な答え

$(3, 9), (4, 6), (5, 5), (8, 4)$