4次方程式 $x^4 - 8x^2 + k = 0$ が異なる4つの実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

4次方程式 $x^4 - 8x^2 + k = 0$ が異なる4つの実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 = t$ とおくと、与えられた4次方程式は $t$ の2次方程式 $t^2 - 8t + k = 0$ になります。

4次方程式が異なる4つの実数解を持つためには、この2次方程式が異なる2つの正の実数解を持たなければなりません。

$t$ に関する2次方程式 $t^2 - 8t + k = 0$ の判別式を $D$ とすると、異なる2つの実数解を持つためには $D > 0$ が必要です。

また、2つの解が共に正であるためには、解の和が正、解の積が正である必要があります。

$t^2 - 8t + k = 0$ の判別式 $D$ は、

$D = (-8)^2 - 4(1)(k) = 64 - 4k$

$D > 0$ より、 $64 - 4k > 0$ なので $4k < 64$ となり $k < 16$ が得られます。

$t^2 - 8t + k = 0$ の解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 8$

$\alpha \beta = k$

$\alpha + \beta > 0$ は常に満たされています。なぜなら、$\alpha + \beta = 8$ だからです。

$\alpha \beta > 0$ より、$k > 0$ が得られます。

さらに、$x^2 = t$ より、 $t$ が正の解を持つ必要があります。$t$ の解が正であるためには、

$t_1 > 0$ かつ $t_2 > 0$ である必要があります。

$x^2 = t_1$と$x^2 = t_2$はそれぞれ２つの実数解を持ちます。したがって、4つの実数解を持ちます。

$t_1, t_2$ が共に正であるためには、$t^2 - 8t + k = 0$ の解が正である必要があります。

解が正である条件は、$0 < k < 16$ です。

3. 最終的な答え

$0 < k < 16$