4次方程式 $3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 = 0$ は正の解を何個持つかを求める問題です。

1. 問題の内容

4次方程式 $3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 = 0$ は正の解を何個持つかを求める問題です。

2. 解き方の手順

デカルトの符号法則を用いて、正の解の個数を調べます。

与えられた多項式 $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5$ の係数の符号の変化を調べます。

係数は $3, -4, -12, 5$ であり、符号の変化は、

$3 \to -4$: 1回

$-4 \to -12$: 変化なし

$-12 \to 5$: 1回

したがって、符号の変化は2回あります。

デカルトの符号法則によれば、正の解の個数は符号の変化の回数（この場合2回）に等しいか、または符号の変化の回数から偶数を引いた数になります。

したがって、正の解の個数は2個または0個です。

次に、$x$が十分大きいとき、$3x^4$が支配的になるので、$f(x)$は正の値をとることがわかります。

また、$f(0) = 5 > 0$です。

$f(1) = 3 - 4 - 12 + 5 = -8 < 0$

$f(2) = 3(16) - 4(8) - 12(4) + 5 = 48 - 32 - 48 + 5 = -27 < 0$

$f(3) = 3(81) - 4(27) - 12(9) + 5 = 243 - 108 - 108 + 5 = 32 > 0$

したがって、中間値の定理より、区間$(0, 1)$と$(2, 3)$にそれぞれ少なくとも1つずつ解が存在します。

よって、$f(x)=0$ は少なくとも2つの正の解を持つことがわかります。

したがって、正の解の個数は2個です。

3. 最終的な答え

2個