3次方程式 $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$ は実数解を何個持つか。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$ は実数解を何個持つか。

2. 解き方の手順

まず、与えられた3次方程式を因数分解します。

$x^3 + 3x^2 - 4 = 0$

$x = 1$ を代入すると、

$1^3 + 3(1)^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$ となるので、$x=1$ は解の一つです。

したがって、$x-1$ を因数に持ちます。

$x^3 + 3x^2 - 4$ を $x-1$ で割ると、

\begin{array}{c|cccc}

\multicolumn{2}{r}{x^2} & +4x & +4 \\

\cline{2-5}

x-1 & x^3 & +3x^2 & +0x & -4 \\

\multicolumn{2}{r}{x^3} & -x^2 \\

\cline{2-3}

\multicolumn{2}{r}{0} & 4x^2 & +0x \\

\multicolumn{2}{r}{} & 4x^2 & -4x \\

\cline{3-4}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & 4x & -4 \\

\multicolumn{2}{r}{} & & 4x & -4 \\

\cline{4-5}

\multicolumn{2}{r}{} & & 0 & 0 \\

\end{array}

したがって、$x^3 + 3x^2 - 4 = (x-1)(x^2 + 4x + 4)$ となります。

さらに、$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$ なので、

$x^3 + 3x^2 - 4 = (x-1)(x+2)^2 = 0$

したがって、解は $x=1$ と $x=-2$（重解）です。

実数解は $x=1$ と $x=-2$ の2つです。

3. 最終的な答え

2個