与えられた対数方程式と対数不等式を解く。具体的には、以下の5つの問題を解く必要がある。 (1) $\log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} \frac{2}{3} = -2$ (2) $\log_{\frac{1}{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} (x-8) + 2 = 0$ (3) $\log_3 x < 4$ (4) $(\log_2 x)^2 - \log_2 x^3 - 4 < 0$ (5) $\log_{\frac{1}{2}} (x-1) + \log_{\frac{1}{2}} x > -1$

1. 問題の内容

与えられた対数方程式と対数不等式を解く。具体的には、以下の5つの問題を解く必要がある。

(1) $\log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} \frac{2}{3} = -2$

(2) $\log_{\frac{1}{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} (x-8) + 2 = 0$

(3) $\log_3 x < 4$

(4) $(\log_2 x)^2 - \log_2 x^3 - 4 < 0$

(5) $\log_{\frac{1}{2}} (x-1) + \log_{\frac{1}{2}} x > -1$

2. 解き方の手順

(1)

$\log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} \frac{2}{3} = -2$

真数条件より、$x > 0$。

$\log_{\frac{1}{2}} \left(x \cdot \frac{2}{3}\right) = -2$

$\frac{2}{3} x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4$

$x = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$

$x = 6$ は真数条件を満たす。

(2)

$\log_{\frac{1}{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} (x-8) + 2 = 0$

真数条件より、$x > 0$ かつ $x-8 > 0$。よって、$x > 8$。

$\log_{\frac{1}{3}} (x(x-8)) = -2$

$x(x-8) = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9$

$x^2 - 8x = 9$

$x^2 - 8x - 9 = 0$

$(x-9)(x+1) = 0$

$x = 9, -1$

$x > 8$ より、$x = 9$

(3)

$\log_3 x < 4$

真数条件より、$x > 0$。

$x < 3^4 = 81$

$0 < x < 81$

(4)

$(\log_2 x)^2 - \log_2 x^3 - 4 < 0$

真数条件より、$x > 0$。

$(\log_2 x)^2 - 3\log_2 x - 4 < 0$

$t = \log_2 x$ とおくと、$t^2 - 3t - 4 < 0$

$(t-4)(t+1) < 0$

$-1 < t < 4$

$-1 < \log_2 x < 4$

$2^{-1} < x < 2^4$

$\frac{1}{2} < x < 16$

(5)

$\log_{\frac{1}{2}} (x-1) + \log_{\frac{1}{2}} x > -1$

真数条件より、$x-1 > 0$ かつ $x > 0$。よって、$x > 1$。

$\log_{\frac{1}{2}} (x(x-1)) > -1$

$x(x-1) < \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2$

$x^2 - x - 2 < 0$

$(x-2)(x+1) < 0$

$-1 < x < 2$

$x > 1$ より、$1 < x < 2$

3. 最終的な答え

(1) $x = 6$

(2) $x = 9$

(3) $0 < x < 81$

(4) $\frac{1}{2} < x < 16$

(5) $1 < x < 2$