3次方程式 $2x^3 - 3x^2 - 12x - a = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $2x^3 - 3x^2 - 12x - a = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形します。

$2x^3 - 3x^2 - 12x = a$

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x$ とおきます。

このとき、$y = f(x)$ のグラフと $y = a$ のグラフが異なる3点で交わるような $a$ の範囲を求めれば良いことになります。

$f(x)$ の増減を調べるために、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x - 2)(x + 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 2$ または $x = -1$ のときです。

増減表は以下のようになります。

| x | ... | -1 | ... | 2 | ... |

|-------|-------|------|-------|------|-------|

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

$f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) = -2 - 3 + 12 = 7$

$f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) = 16 - 12 - 24 = -20$

したがって、$y = f(x)$ のグラフは $x = -1$ で極大値7をとり、$x = 2$ で極小値-20をとります。

$y = f(x)$ のグラフと $y = a$ のグラフが異なる3点で交わるためには、$a$ は極大値と極小値の間になければなりません。

つまり、$-20 < a < 7$ が求める範囲です。

3. 最終的な答え

$-20 < a < 7$