ベクトル $a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ が与えられている。変換 $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ を $f(x) = a \times x$ で定義する。ここで、$\times$ は $\mathbb{R}^3$ の外積である。このとき、$f$ が $\mathbb{R}^3$ の線形変換であることを示し、$\mathbb{R}^3$ の標準基底 $\{e_1, e_2, e_3\}$ に関する $f$ の表現行列を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ が与えられている。変換 $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ を $f(x) = a \times x$ で定義する。ここで、$\times$ は $\mathbb{R}^3$ の外積である。このとき、$f$ が $\mathbb{R}^3$ の線形変換であることを示し、$\mathbb{R}^3$ の標準基底 $\{e_1, e_2, e_3\}$ に関する $f$ の表現行列を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f$ が線形変換であることを示す。線形変換であるためには、以下の2つの条件を満たす必要がある。

(a) $f(x+y) = f(x) + f(y)$

(b) $f(cx) = cf(x)$

ここで、$x, y \in \mathbb{R}^3$ であり、$c$ はスカラーである。

(a) $f(x+y) = a \times (x+y) = a \times x + a \times y = f(x) + f(y)$ より、条件(a)は満たされる。

(b) $f(cx) = a \times (cx) = c(a \times x) = cf(x)$ より、条件(b)は満たされる。

したがって、$f$ は線形変換である。

(2) 標準基底 $\{e_1, e_2, e_3\}$ に関する $f$ の表現行列を求める。ここで、$e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ である。

まず、$a \times e_1$, $a \times e_2$, $a \times e_3$ を計算する。

$a \times e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$

$a \times e_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

$a \times e_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

したがって、$f(e_1) = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$, $f(e_2) = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $f(e_3) = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ である。

$f$ の表現行列 $A$ は、$f(e_1), f(e_2), f(e_3)$ を列ベクトルとして並べたものである。

$A = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$f$ は線形変換であり、その表現行列は

$A = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$