$t = x + \frac{1}{x}$ とおくとき、すべての自然数 $n$ について $x^n + \frac{1}{x^n}$ が $t$ の $n$ 次式になることを数学的帰納法で証明せよ。
2025/7/26
1. 問題の内容
とおくとき、すべての自然数 について が の 次式になることを数学的帰納法で証明せよ。
2. 解き方の手順
(1) のとき:
なので、 の1次式である。したがって、 のとき、題意は成り立つ。
(2) のとき:
なので、 の2次式である。したがって、 のとき、題意は成り立つ。
(3) () のとき、題意が成り立つと仮定する。すなわち、 が の 次式、 が の 次式であると仮定する。
(4) のとき:
を で表すことを考える。
したがって、
ここで、 は の 次式、 は の 次式であると仮定しているので、 は の 次式、 は の 次式となる。
(5) 以上の(1)~(4)より、すべての自然数 について、 は の 次式となる。
3. 最終的な答え
すべての自然数 について、 は の 次式である。