$t = x + \frac{1}{x}$ とおくとき、すべての自然数 $n$ について $x^n + \frac{1}{x^n}$ が $t$ の $n$ 次式になることを数学的帰納法で証明せよ。

代数学数学的帰納法式の展開多項式
2025/7/26

1. 問題の内容

t=x+1xt = x + \frac{1}{x} とおくとき、すべての自然数 nn について xn+1xnx^n + \frac{1}{x^n}ttnn 次式になることを数学的帰納法で証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) n=1n = 1 のとき:
x1+1x1=x+1x=tx^1 + \frac{1}{x^1} = x + \frac{1}{x} = t なので、tt の1次式である。したがって、n=1n = 1 のとき、題意は成り立つ。
(2) n=2n = 2 のとき:
x2+1x2=(x+1x)22=t22x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = t^2 - 2 なので、tt の2次式である。したがって、n=2n = 2 のとき、題意は成り立つ。
(3) n=k,k+1n = k, k+1 (k1k \ge 1) のとき、題意が成り立つと仮定する。すなわち、xk+1xkx^k + \frac{1}{x^k}ttkk 次式、xk+1+1xk+1x^{k+1} + \frac{1}{x^{k+1}}ttk+1k+1 次式であると仮定する。
(4) n=k+2n = k+2 のとき:
xk+2+1xk+2x^{k+2} + \frac{1}{x^{k+2}}tt で表すことを考える。
(x+1x)(xk+1+1xk+1)=xk+2+1xk+xk+1xk+2(x + \frac{1}{x})(x^{k+1} + \frac{1}{x^{k+1}}) = x^{k+2} + \frac{1}{x^k} + x^k + \frac{1}{x^{k+2}}
したがって、
xk+2+1xk+2=(x+1x)(xk+1+1xk+1)(xk+1xk)x^{k+2} + \frac{1}{x^{k+2}} = (x + \frac{1}{x})(x^{k+1} + \frac{1}{x^{k+1}}) - (x^k + \frac{1}{x^k})
xk+2+1xk+2=t(xk+1+1xk+1)(xk+1xk)x^{k+2} + \frac{1}{x^{k+2}} = t (x^{k+1} + \frac{1}{x^{k+1}}) - (x^k + \frac{1}{x^k})
ここで、xk+1+1xk+1x^{k+1} + \frac{1}{x^{k+1}}ttk+1k+1 次式、xk+1xkx^k + \frac{1}{x^k}ttkk 次式であると仮定しているので、t(xk+1+1xk+1)t (x^{k+1} + \frac{1}{x^{k+1}})ttk+2k+2 次式、xk+2+1xk+2x^{k+2} + \frac{1}{x^{k+2}}ttk+2k+2 次式となる。
(5) 以上の(1)~(4)より、すべての自然数 nn について、xn+1xnx^n + \frac{1}{x^n}ttnn 次式となる。

3. 最終的な答え

すべての自然数 nn について、xn+1xnx^n + \frac{1}{x^n}ttnn 次式である。

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