与えられた2次方程式 $x^2 + 2tx + 4 = 0$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) この方程式が異なる2つの実数解を持つための $t$ の条件を求めます。 (2) この方程式の2つの実数解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、「$\alpha > 1$ かつ $\beta > 1$」となるための必要十分条件を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式 $x^2 + 2tx + 4 = 0$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) この方程式が異なる2つの実数解を持つための $t$ の条件を求めます。

(2) この方程式の2つの実数解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、「$\alpha > 1$ かつ $\beta > 1$」となるための必要十分条件を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 異なる2つの実数解を持つ条件

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの実数解を持つための判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac > 0$ です。

与えられた方程式 $x^2 + 2tx + 4 = 0$ について、$a = 1$, $b = 2t$, $c = 4$ なので、判別式 $D$ は

$D = (2t)^2 - 4(1)(4) = 4t^2 - 16$

異なる2つの実数解を持つための条件は $D > 0$ なので、

$4t^2 - 16 > 0$

$t^2 - 4 > 0$

$(t - 2)(t + 2) > 0$

したがって、$t < -2$ または $2 < t$

(2) $\alpha > 1$ かつ $\beta > 1$ となる条件

$\alpha > 1$ かつ $\beta > 1$ となるための必要十分条件を考えます。

$\alpha > 1$ かつ $\beta > 1$ は、$\alpha - 1 > 0$ かつ $\beta - 1 > 0$ と同値です。

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -2t$ かつ $\alpha \beta = 4$ です。

ここで、$(\alpha - 1) + (\beta - 1) = \alpha + \beta - 2 = -2t - 2 > 0$ より $-2t > 2$ すなわち $t < -1$

また、$(\alpha - 1)(\beta - 1) = \alpha \beta - (\alpha + \beta) + 1 = 4 - (-2t) + 1 = 2t + 5 > 0$ より $2t > -5$ すなわち $t > -\frac{5}{2}$

さらに、$(\alpha - 1) + (\beta - 1) > 0$ かつ $(\alpha - 1)(\beta - 1) > 0$ に加えて、実数解を持つ条件も必要です。

$\alpha > 1$ かつ $\beta > 1$ より $\alpha + \beta > 2$ かつ $\alpha \beta - (\alpha + \beta) > -1$

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -2t$ かつ $\alpha \beta = 4$ なので

$-2t > 2$ かつ $4 - (-2t) > -1$

$t < -1$ かつ $4 + 2t > -1$

$t < -1$ かつ $2t > -5$

$t < -1$ かつ $t > -\frac{5}{2}$

$-\frac{5}{2} < t < -1$

しかし、最初に求めた2つの実数解を持つ条件 $t < -2$ または $2 < t$ との共通範囲を考えると、

$-\frac{5}{2} < t < -2$ は条件を満たさないので、適切ではありません。

$\alpha > 1$ かつ $\beta > 1$ は、2次方程式 $x^2 + 2tx + 4 = 0$ の解 $\alpha$, $\beta$ が両方とも1より大きいということです。

これは以下の3つの条件を満たすことと同値です。

(i) 判別式 $D \ge 0$ (実数解を持つ)

(ii) $\alpha + \beta > 2$ (解の和が2より大きい)

(iii) $(\alpha - 1)(\beta - 1) > 0$ (両方の解が1より大きい)

(i) $4t^2 - 16 \ge 0$ より $t^2 \ge 4$ なので、$t \le -2$ または $t \ge 2$

(ii) $-2t > 2$ より $t < -1$

(iii) $\alpha \beta - (\alpha + \beta) + 1 > 0$ より $4 - (-2t) + 1 > 0$ すなわち $2t + 5 > 0$ なので $t > -\frac{5}{2}$

これら3つの条件を満たす $t$ の範囲は $-\frac{5}{2} < t \le -2$ です。

したがって、$\alpha + \beta > 2$ かつ $\alpha \beta - (\alpha + \beta) > -1$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $t < -2$ または $2 < t$

(2) $\alpha + \beta > 2$ かつ $\alpha \beta - (\alpha + \beta) > -1$