4つのベクトル $a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $a_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ c \end{pmatrix}$, $a_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2c \\ -5 \end{pmatrix}$, $a_4 = \begin{pmatrix} -c \\ -7 \\ 6 \end{pmatrix}$ が与えられています。これらのベクトルが生成する部分空間の次元が2となるような $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

4つのベクトル $a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $a_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ c \end{pmatrix}$, $a_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2c \\ -5 \end{pmatrix}$, $a_4 = \begin{pmatrix} -c \\ -7 \\ 6 \end{pmatrix}$ が与えられています。これらのベクトルが生成する部分空間の次元が2となるような $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

部分空間の次元が2となるということは、4つのベクトルの中に線形独立なベクトルが2つだけ存在し、残りの2つのベクトルはそれらの線形結合で表されるということです。

まず、$a_1$と$a_2$が線形独立であることを確認します。もし線形従属であれば、$a_2 = k a_1$ となるスカラー $k$ が存在します。しかし、$a_1$の第一成分と$a_2$の第一成分より、$k = 2$でなければなりませんが、$a_1$の第二成分と$a_2$の第二成分は$2 \cdot 2 = 4 \ne 5$であるため、線形独立です。

次に、$a_3$と$a_4$が$a_1$と$a_2$の線形結合で表されると仮定します。つまり、$a_3 = s a_1 + t a_2$ および $a_4 = u a_1 + v a_2$となるスカラー $s, t, u, v$ が存在します。

$a_3 = s a_1 + t a_2$より、

$\begin{pmatrix} 1 \\ 2c \\ -5 \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ c \end{pmatrix}$

これは以下の連立方程式に対応します。

\begin{align*} \label{eq:1} s + 2t &= 1 \\ 2s + 5t &= 2c \\ 3s + ct &= -5 \end{align*}

第一式から $s = 1 - 2t$ を得ます。これを第二式に代入すると、

$2(1-2t) + 5t = 2c$

$2 - 4t + 5t = 2c$

$t = 2c - 2$

$s = 1 - 2(2c - 2) = 1 - 4c + 4 = 5 - 4c$

これらを第三式に代入します。

$3(5-4c) + c(2c-2) = -5$

$15 - 12c + 2c^2 - 2c = -5$

$2c^2 - 14c + 20 = 0$

$c^2 - 7c + 10 = 0$

$(c - 2)(c - 5) = 0$

したがって、$c = 2$ または $c = 5$です。

$a_4 = u a_1 + v a_2$より、

$\begin{pmatrix} -c \\ -7 \\ 6 \end{pmatrix} = u \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + v \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ c \end{pmatrix}$

これは以下の連立方程式に対応します。

\begin{align*} u + 2v &= -c \\ 2u + 5v &= -7 \\ 3u + cv &= 6 \end{align*}

$c=2$のとき、

\begin{align*} u + 2v &= -2 \\ 2u + 5v &= -7 \\ 3u + 2v &= 6 \end{align*}

第一式から$u = -2 - 2v$を得ます。これを第二式に代入すると、

$2(-2-2v) + 5v = -7$

$-4 - 4v + 5v = -7$

$v = -3$

$u = -2 - 2(-3) = 4$

これらを第三式に代入すると、

$3(4) + 2(-3) = 12 - 6 = 6$となり、これは正しいです。

したがって、$c=2$は条件を満たします。

$c=5$のとき、

\begin{align*} u + 2v &= -5 \\ 2u + 5v &= -7 \\ 3u + 5v &= 6 \end{align*}

第一式から$u = -5 - 2v$を得ます。これを第二式に代入すると、

$2(-5-2v) + 5v = -7$

$-10 - 4v + 5v = -7$

$v = 3$

$u = -5 - 2(3) = -11$

これらを第三式に代入すると、

$3(-11) + 5(3) = -33 + 15 = -18 \ne 6$となり、これは正しくありません。

したがって、$c=5$は条件を満たしません。

3. 最終的な答え

$c = 2$