$x$ についての2次方程式 $x^2 - 2mx + 2m^2 + m - 2 = 0$ の解がすべて整数となるような整数 $m$ をすべて求める。

1. 問題の内容

$x$ についての2次方程式 $x^2 - 2mx + 2m^2 + m - 2 = 0$ の解がすべて整数となるような整数 $m$ をすべて求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式を解の公式を用いて解きます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a=1, b=-2m, c=2m^2+m-2$ なので、

$x = \frac{2m \pm \sqrt{(-2m)^2 - 4(1)(2m^2+m-2)}}{2}$

$x = \frac{2m \pm \sqrt{4m^2 - 8m^2 - 4m + 8}}{2}$

$x = \frac{2m \pm \sqrt{-4m^2 - 4m + 8}}{2}$

$x = m \pm \frac{\sqrt{-4(m^2 + m - 2)}}{2}$

$x = m \pm \sqrt{-(m^2 + m - 2)}$

$x = m \pm \sqrt{-(m+2)(m-1)}$

解が整数となるためには、根号の中身が0以上の整数の2乗である必要があります。

すなわち、$-(m+2)(m-1)$ が0以上の平方数である必要があります。

$-(m+2)(m-1) \geq 0$ である必要があるので、$(m+2)(m-1) \leq 0$。

したがって、$-2 \leq m \leq 1$ となります。

$m$ は整数なので、$m = -2, -1, 0, 1$ のいずれかです。

$m = -2$ のとき、$-(m+2)(m-1) = -(-2+2)(-2-1) = 0$。

$x = -2 \pm \sqrt{0} = -2$

$m = -1$ のとき、$-(m+2)(m-1) = -(-1+2)(-1-1) = -(1)(-2) = 2$。

$x = -1 \pm \sqrt{2}$ (整数解にならない)

$m = 0$ のとき、$-(m+2)(m-1) = -(0+2)(0-1) = -2(-1) = 2$。

$x = 0 \pm \sqrt{2}$ (整数解にならない)

$m = 1$ のとき、$-(m+2)(m-1) = -(1+2)(1-1) = -(3)(0) = 0$。

$x = 1 \pm \sqrt{0} = 1$

したがって、m = -2, 1 のとき解は整数となる。

3. 最終的な答え

$m = -2, 1$