与えられた数列 $\{a_n\}$ が群に分けられている。 (1) 第 $N$ 群の末項 $\frac{N}{1}$ が数列 $\{a_n\}$ の第何項かを $N$ を用いて表す。 (2) $a_{500}$ を求める。 (3) $n = 1, 2, 3, ..., 500$ のうち、$a_n \le 1$ を満たす $n$ の個数を求める。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}$ が群に分けられている。

(1) 第 $N$ 群の末項 $\frac{N}{1}$ が数列 $\{a_n\}$ の第何項かを $N$ を用いて表す。

(2) $a_{500}$ を求める。

(3) $n = 1, 2, 3, ..., 500$ のうち、$a_n \le 1$ を満たす $n$ の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第 $N$ 群の末項が数列の第何項か

第1群の項数は1, 第2群の項数は2, 第3群の項数は3, ..., 第 $N$ 群の項数は $N$ である。

したがって、第 $N$ 群の末項は、第1群から第 $N$ 群までの項数の合計となる。

第1群から第 $N$ 群までの項数の合計は、

$1 + 2 + 3 + ... + N = \frac{N(N+1)}{2}$

である。したがって、第 $N$ 群の末項 $\frac{N}{1}$ は数列 $\{a_n\}$ の第 $\frac{N(N+1)}{2}$ 項である。

(2) $a_{500}$ を求める。

$a_{500}$ が第 $k$ 群に含まれるとする。

$\frac{(k-1)k}{2} < 500 \le \frac{k(k+1)}{2}$

となるような $k$ を探す。

$k(k-1) < 1000 \le k(k+1)$

$k=31$ のとき、$31 \times 30 = 930 < 1000$

$k=32$ のとき、$32 \times 31 = 992 < 1000$

$k=32$ のとき、$32 \times 33 = 1056 > 1000$

よって、$k=32$ となる。

$500 - \frac{31 \times 32}{2} = 500 - 496 = 4$

したがって、$a_{500}$ は第32群の4番目の項である。

第32群の項は $\frac{1}{32}, \frac{2}{31}, \frac{3}{30}, ..., \frac{32}{1}$ となっている。

第 $k$ 群の $m$ 番目の項は $\frac{m}{k+1-m}$ で表される。

したがって、第32群の4番目の項は $\frac{4}{32+1-4} = \frac{4}{29}$ である。

よって、$a_{500} = \frac{4}{29}$ である。

(3) $n = 1, 2, 3, ..., 500$ のうち、$a_n \le 1$ を満たす $n$ の個数を求める。

第 $k$ 群の項は $\frac{1}{k}, \frac{2}{k-1}, \frac{3}{k-2}, ..., \frac{k}{1}$ となっている。

$a_n \le 1$ を満たす条件は、$\frac{m}{k+1-m} \le 1$ であり、$m \le k+1-m$ となる。

$2m \le k+1$ より $m \le \frac{k+1}{2}$ を満たす必要がある。

第 $k$ 群において、 $a_n \le 1$ を満たす項の個数は、$\left\lfloor \frac{k+1}{2} \right\rfloor$ となる。

$n \le 500$ より、第 $k$ 群までを考慮する。$\frac{k(k+1)}{2} \le 500$ より $k(k+1) \le 1000$ となる。

$k=31$ のとき、$31 \times 32 = 992 < 1000$

$k=32$ のとき、$32 \times 33 = 1056 > 1000$

したがって、第31群までを考慮する。

$n \le 500$ の範囲で $a_n \le 1$ を満たす項の個数は、$\sum_{k=1}^{31} \left\lfloor \frac{k+1}{2} \right\rfloor$ で計算できる。

$\sum_{k=1}^{31} \left\lfloor \frac{k+1}{2} \right\rfloor = \sum_{k=1}^{31} \left\lfloor \frac{k+1}{2} \right\rfloor = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + 16 + 16 = 2(1+2+...+15) + 16 = 2 \times \frac{15 \times 16}{2} + 16 = 15 \times 16 + 16 = 16 \times 16 = 256$

次に、第32群について考える。第32群の1番目から4番目までが$a_{500}$ までである。

$\left\lfloor \frac{32+1}{2} \right\rfloor = 16$

第32群の項は $\frac{1}{32}, \frac{2}{31}, \frac{3}{30}, \frac{4}{29}, ...$

$a_n \le 1$ を満たす条件は、$m \le \frac{k+1}{2}$ より、 $m \le \frac{33}{2} = 16.5$

したがって、第32群では最初の16項目が $a_n \le 1$ を満たす。

$a_{500}$ まででは、$\frac{1}{32}, \frac{2}{31}, \frac{3}{30}, \frac{4}{29}$ の4項が$a_{500}$までにある。

これら4項は全て$a_n \le 1$を満たす。よって4つとも数える。

したがって、$n = 1, 2, 3, ..., 500$ のうち、$a_n \le 1$ を満たす $n$ の個数は $256 + 4 = 260$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{N(N+1)}{2}$

(2) $\frac{4}{29}$

(3) 260