与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & k \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ の積 $AB$ と $BA$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & k \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ の積 $AB$ と $BA$ を計算する。

2. 解き方の手順

行列の積の定義に従って計算する。

$AB$ の計算:

$AB = \begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \cdot 1 + d \cdot 0 + g \cdot 0 & a \cdot 0 + d \cdot 1 + g \cdot 0 & a \cdot 0 + d \cdot 2 + g \cdot 1 \\ b \cdot 1 + e \cdot 0 + h \cdot 0 & b \cdot 0 + e \cdot 1 + h \cdot 0 & b \cdot 0 + e \cdot 2 + h \cdot 1 \\ c \cdot 1 + f \cdot 0 + k \cdot 0 & c \cdot 0 + f \cdot 1 + k \cdot 0 & c \cdot 0 + f \cdot 2 + k \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & d & 2d + g \\ b & e & 2e + h \\ c & f & 2f + k \end{pmatrix}$

$BA$ の計算:

$BA = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot a + 0 \cdot b + 0 \cdot c & 1 \cdot d + 0 \cdot e + 0 \cdot f & 1 \cdot g + 0 \cdot h + 0 \cdot k \\ 0 \cdot a + 1 \cdot b + 2 \cdot c & 0 \cdot d + 1 \cdot e + 2 \cdot f & 0 \cdot g + 1 \cdot h + 2 \cdot k \\ 0 \cdot a + 0 \cdot b + 1 \cdot c & 0 \cdot d + 0 \cdot e + 1 \cdot f & 0 \cdot g + 0 \cdot h + 1 \cdot k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & d & g \\ b + 2c & e + 2f & h + 2k \\ c & f & k \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$AB = \begin{pmatrix} a & d & 2d + g \\ b & e & 2e + h \\ c & f & 2f + k \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} a & d & g \\ b + 2c & e + 2f & h + 2k \\ c & f & k \end{pmatrix}$