写真に写っている数学の問題のうち、5,6,7,8番の問題を解きます。 5. 次の式をできるだけ簡単にせよ。 (1) $(3^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{5}}$ (2) $\log_7 343$ (3) $10 \times 10 \times 10^{-1}$ (4) $\log_2 9 - \log_2 4$ (5) $243^{\frac{1}{5}} + 2 \sqrt[5]{243}$ (6) $\frac{\log_3 25 - \log_3 125 - \log_3 625}{3 \log_3 5}$ 6. 次の関数の導関数を求めよ。 (1) $y = 200$ (2) $y = x^2 + 4x - 3$ (3) $y = \frac{1}{x}$ (4) $y = (x-5)^2$ 7. 2次関数 $f(x) = -x^2 + 2$ について、$x$ が $a$ から $b$ まで変わるときの平均変化率と、$x=c$ における微分係数 $f'(c)$ が等しいとき、$c$ を $a$ と $b$ を用いて表せ。ただし、$a \neq b$ とする。 8. 次の数列に関する問題を解け。 (1) 第5項が5、第12項が49である等差数列の第50項を求めよ。 (2) 初項が1024、第2項が256、第3項が64という無限等比数列において、項の値が$\frac{1}{16}$となるのは第何項か? (3) 無限等比数列 $\{8, 1, \frac{1}{8}, \dots\}$ の和を求めよ。

代数学指数対数導関数平均変化率等差数列等比数列数列の和
2025/7/26
はい、承知いたしました。以下の通り解答します。

1. 問題の内容

写真に写っている数学の問題のうち、5,6,7,8番の問題を解きます。

5. 次の式をできるだけ簡単にせよ。

(1) (332)15(3^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{5}}
(2) log7343\log_7 343
(3) 10×10×10110 \times 10 \times 10^{-1}
(4) log29log24\log_2 9 - \log_2 4
(5) 24315+22435243^{\frac{1}{5}} + 2 \sqrt[5]{243}
(6) log325log3125log36253log35\frac{\log_3 25 - \log_3 125 - \log_3 625}{3 \log_3 5}

6. 次の関数の導関数を求めよ。

(1) y=200y = 200
(2) y=x2+4x3y = x^2 + 4x - 3
(3) y=1xy = \frac{1}{x}
(4) y=(x5)2y = (x-5)^2

7. 2次関数 $f(x) = -x^2 + 2$ について、$x$ が $a$ から $b$ まで変わるときの平均変化率と、$x=c$ における微分係数 $f'(c)$ が等しいとき、$c$ を $a$ と $b$ を用いて表せ。ただし、$a \neq b$ とする。

8. 次の数列に関する問題を解け。

(1) 第5項が5、第12項が49である等差数列の第50項を求めよ。
(2) 初項が1024、第2項が256、第3項が64という無限等比数列において、項の値が116\frac{1}{16}となるのは第何項か?
(3) 無限等比数列 {8,1,18,}\{8, 1, \frac{1}{8}, \dots\} の和を求めよ。

2. 解き方の手順

5. (1) 指数法則 $(a^m)^n = a^{mn}$ を用います。

(2) logaax=x\log_a a^x = x を用いるために、343を7の累乗で表します。
(3) 指数法則 am×an=am+na^m \times a^n = a^{m+n}an=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n} を用います。
(4) 対数の性質 logaxlogay=logaxy\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y} を用います。
(5) 243を3の累乗で表します。
(6) 対数の性質 logaxlogay=logaxy\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}nlogax=logaxnn \log_a x = \log_a x^nを用います。

6. (1) 定数の導関数は0です。

(2) xnx^n の導関数は nxn1nx^{n-1} であり、和の導関数はそれぞれの導関数の和です。
(3) x1x^{-1} と考えて、xnx^n の導関数の公式を適用します。
(4) 合成関数の微分法を用います。

7. 平均変化率は $\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$ であり、微分係数は $f'(x)$ です。$f'(x)$ を求め、与えられた条件から $c$ について解きます。

8. (1) 等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とおき、与えられた条件から $a$ と $d$ を求めます。その後、第50項を計算します。

(2) 等比数列の一般項を arn1ar^{n-1} とおき、与えられた条件から aarr を求めます。その後、116\frac{1}{16}となる nn を求めます。
(3) 無限等比数列の和の公式 S=a1rS = \frac{a}{1-r} を用います。ただし、r<1|r| < 1 である必要があります。
以下、計算過程と答えです。

5. (1) $(3^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{5}} = 3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{5}} = 3^{\frac{3}{10}}$

(2) log7343=log773=3\log_7 343 = \log_7 7^3 = 3
(3) 10×10×101=102×101=1021=101=1010 \times 10 \times 10^{-1} = 10^2 \times 10^{-1} = 10^{2-1} = 10^1 = 10
(4) log29log24=log294\log_2 9 - \log_2 4 = \log_2 \frac{9}{4}
(5) 24315+22435=(35)15+2(35)15=3+23=3+6=9243^{\frac{1}{5}} + 2 \sqrt[5]{243} = (3^5)^{\frac{1}{5}} + 2 (3^5)^{\frac{1}{5}} = 3 + 2 \cdot 3 = 3 + 6 = 9
(6) log325log3125log36253log35=log3251256253log35=log3131253log35=log3553log35=5log353log35=53\frac{\log_3 25 - \log_3 125 - \log_3 625}{3 \log_3 5} = \frac{\log_3 \frac{25}{125 \cdot 625}}{3 \log_3 5} = \frac{\log_3 \frac{1}{3125}}{3 \log_3 5} = \frac{\log_3 5^{-5}}{3 \log_3 5} = \frac{-5 \log_3 5}{3 \log_3 5} = -\frac{5}{3}

6. (1) $y' = 0$

(2) y=2x+4y' = 2x + 4
(3) y=1x=x1y = \frac{1}{x} = x^{-1} より、 y=1x2=1x2y' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}
(4) y=(x5)2y = (x-5)^2 より、 y=2(x5)1=2(x5)=2x10y' = 2(x-5) \cdot 1 = 2(x-5) = 2x - 10

7. $f(x) = -x^2 + 2$

平均変化率: f(b)f(a)ba=(b2+2)(a2+2)ba=a2b2ba=(ab)(a+b)ba=(a+b)\frac{f(b) - f(a)}{b-a} = \frac{(-b^2 + 2) - (-a^2 + 2)}{b-a} = \frac{a^2 - b^2}{b-a} = \frac{(a-b)(a+b)}{b-a} = -(a+b)
微分係数: f(x)=2xf'(x) = -2x より、 f(c)=2cf'(c) = -2c
2c=(a+b)-2c = -(a+b)
c=a+b2c = \frac{a+b}{2}

8. (1) $a_5 = a + 4d = 5$

a12=a+11d=49a_{12} = a + 11d = 49
2式の差をとると、 7d=447d = 44 より d=447d = \frac{44}{7}
a=54d=54447=351767=1417a = 5 - 4d = 5 - 4 \cdot \frac{44}{7} = \frac{35 - 176}{7} = -\frac{141}{7}
a50=a+49d=1417+49447=1417+744=141+30877=141+21567=20157=287.857...a_{50} = a + 49d = -\frac{141}{7} + 49 \cdot \frac{44}{7} = -\frac{141}{7} + 7 \cdot 44 = \frac{-141 + 308 \cdot 7}{7} = \frac{-141 + 2156}{7} = \frac{2015}{7} = 287.857...
(2) a=1024a = 1024
ar=256ar = 256 より r=2561024=14r = \frac{256}{1024} = \frac{1}{4}
arn1=1024(14)n1=116ar^{n-1} = 1024 (\frac{1}{4})^{n-1} = \frac{1}{16}
(14)n1=1161024=124210=1214=(14)7(\frac{1}{4})^{n-1} = \frac{1}{16 \cdot 1024} = \frac{1}{2^4 \cdot 2^{10}} = \frac{1}{2^{14}} = (\frac{1}{4})^7
n1=7n-1 = 7 より n=8n = 8
(3) a=8a = 8, r=18r = \frac{1}{8}
S=8118=878=887=647S = \frac{8}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{8}{\frac{7}{8}} = \frac{8 \cdot 8}{7} = \frac{64}{7}

3. 最終的な答え

4. (1) $3^{\frac{3}{10}}$

(2) 3
(3) 10
(4) log294\log_2 \frac{9}{4}
(5) 9
(6) 53-\frac{5}{3}

5. (1) $0$

(2) 2x+42x+4
(3) 1x2-\frac{1}{x^2}
(4) 2x102x-10

6. $c = \frac{a+b}{2}$

7. (1) $\frac{2015}{7}$

(2) 8
(3) 647\frac{64}{7}

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