写真に写っている数学の問題のうち、5,6,7,8番の問題を解きます。 5. 次の式をできるだけ簡単にせよ。 (1) $(3^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{5}}$ (2) $\log_7 343$ (3) $10 \times 10 \times 10^{-1}$ (4) $\log_2 9 - \log_2 4$ (5) $243^{\frac{1}{5}} + 2 \sqrt[5]{243}$ (6) $\frac{\log_3 25 - \log_3 125 - \log_3 625}{3 \log_3 5}$ 6. 次の関数の導関数を求めよ。 (1) $y = 200$ (2) $y = x^2 + 4x - 3$ (3) $y = \frac{1}{x}$ (4) $y = (x-5)^2$ 7. 2次関数 $f(x) = -x^2 + 2$ について、$x$ が $a$ から $b$ まで変わるときの平均変化率と、$x=c$ における微分係数 $f'(c)$ が等しいとき、$c$ を $a$ と $b$ を用いて表せ。ただし、$a \neq b$ とする。 8. 次の数列に関する問題を解け。 (1) 第5項が5、第12項が49である等差数列の第50項を求めよ。 (2) 初項が1024、第2項が256、第3項が64という無限等比数列において、項の値が$\frac{1}{16}$となるのは第何項か? (3) 無限等比数列 $\{8, 1, \frac{1}{8}, \dots\}$ の和を求めよ。
2025/7/26
はい、承知いたしました。以下の通り解答します。
1. 問題の内容
写真に写っている数学の問題のうち、5,6,7,8番の問題を解きます。
5. 次の式をできるだけ簡単にせよ。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
6. 次の関数の導関数を求めよ。
(1)
(2)
(3)
(4)
7. 2次関数 $f(x) = -x^2 + 2$ について、$x$ が $a$ から $b$ まで変わるときの平均変化率と、$x=c$ における微分係数 $f'(c)$ が等しいとき、$c$ を $a$ と $b$ を用いて表せ。ただし、$a \neq b$ とする。
8. 次の数列に関する問題を解け。
(1) 第5項が5、第12項が49である等差数列の第50項を求めよ。
(2) 初項が1024、第2項が256、第3項が64という無限等比数列において、項の値がとなるのは第何項か?
(3) 無限等比数列 の和を求めよ。
2. 解き方の手順
5. (1) 指数法則 $(a^m)^n = a^{mn}$ を用います。
(2) を用いるために、343を7の累乗で表します。
(3) 指数法則 と を用います。
(4) 対数の性質 を用います。
(5) 243を3の累乗で表します。
(6) 対数の性質 と を用います。
6. (1) 定数の導関数は0です。
(2) の導関数は であり、和の導関数はそれぞれの導関数の和です。
(3) と考えて、 の導関数の公式を適用します。
(4) 合成関数の微分法を用います。
7. 平均変化率は $\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$ であり、微分係数は $f'(x)$ です。$f'(x)$ を求め、与えられた条件から $c$ について解きます。
8. (1) 等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とおき、与えられた条件から $a$ と $d$ を求めます。その後、第50項を計算します。
(2) 等比数列の一般項を とおき、与えられた条件から と を求めます。その後、となる を求めます。
(3) 無限等比数列の和の公式 を用います。ただし、 である必要があります。
以下、計算過程と答えです。
5. (1) $(3^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{5}} = 3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{5}} = 3^{\frac{3}{10}}$
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
6. (1) $y' = 0$
(2)
(3) より、
(4) より、
7. $f(x) = -x^2 + 2$
平均変化率:
微分係数: より、
8. (1) $a_5 = a + 4d = 5$
2式の差をとると、 より
(2)
より
より
(3) ,
3. 最終的な答え
4. (1) $3^{\frac{3}{10}}$
(2) 3
(3) 10
(4)
(5) 9
(6)
5. (1) $0$
(2)
(3)
(4)
6. $c = \frac{a+b}{2}$
7. (1) $\frac{2015}{7}$
(2) 8
(3)