(1) 対数不等式 $\log_4(x-3) < 1 + \log_{16}(x-6)$ を解き、選択肢から適切なものを選ぶ。 (2) 指数方程式 $3^{\log_3 2x} = x^2 - 3$ を解き、選択肢から適切なものを選ぶ。

1. 問題の内容

(1) 対数不等式 $\log_4(x-3) < 1 + \log_{16}(x-6)$ を解き、選択肢から適切なものを選ぶ。

(2) 指数方程式 $3^{\log_3 2x} = x^2 - 3$ を解き、選択肢から適切なものを選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 対数不等式 $\log_4(x-3) < 1 + \log_{16}(x-6)$ を解く。

まず、真数条件から $x-3 > 0$ かつ $x-6 > 0$ である必要があるので、$x > 6$ である。

次に、底を4に揃える。$\log_{16}(x-6) = \frac{\log_4(x-6)}{\log_4 16} = \frac{\log_4(x-6)}{2}$であるから、不等式は次のようになる。

$\log_4(x-3) < 1 + \frac{1}{2} \log_4(x-6)$

$\log_4(x-3) < \log_4 4 + \log_4 \sqrt{x-6}$

$\log_4(x-3) < \log_4 (4\sqrt{x-6})$

底が4で1より大きいので、真数部分を比較して、

$x-3 < 4\sqrt{x-6}$

両辺を2乗して、

$(x-3)^2 < 16(x-6)$

$x^2 - 6x + 9 < 16x - 96$

$x^2 - 22x + 105 < 0$

$(x-7)(x-15) < 0$

$7 < x < 15$

真数条件 $x > 6$ と合わせると、$7 < x < 15$

したがって、(1)の答えは ② である。

(2) 指数方程式 $3^{\log_3 2x} = x^2 - 3$ を解く。

対数の性質より、$3^{\log_3 2x} = 2x$ であるから、方程式は次のようになる。

$2x = x^2 - 3$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x-3)(x+1) = 0$

$x = 3, -1$

ここで、対数の真数条件より、$2x > 0$ 、つまり $x > 0$ である必要がある。

したがって、$x = 3$ のみが解となる。

したがって、(2)の答えは ① である。

3. 最終的な答え

(1) ②

(2) ①