与えられた連立一次方程式を解く問題です。特に、問題1の(1)から(7)の連立一次方程式を解く必要があります。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解く問題です。特に、問題1の(1)から(7)の連立一次方程式を解く必要があります。

2. 解き方の手順

各連立一次方程式について、拡大係数行列を作り、行基本変形を行って階段行列（または簡約階段行列）に変形します。その後、後退代入を用いて解を求めます。

(1)

拡大係数行列は

$\begin{bmatrix}

2 & -1 & 5 & | & -1 \\

0 & 2 & 2 & | & 6 \\

1 & 0 & 3 & | & 1

\end{bmatrix}$

3行目を2倍して1行目と入れ替える:

$\begin{bmatrix}

2 & 0 & 6 & | & 2 \\

0 & 2 & 2 & | & 6 \\

2 & -1 & 5 & | & -1

\end{bmatrix}$

1行目を-1倍して3行目に足す:

$\begin{bmatrix}

2 & 0 & 6 & | & 2 \\

0 & 2 & 2 & | & 6 \\

0 & -1 & -1 & | & -3

\end{bmatrix}$

2行目を1/2倍、3行目を-1倍する:

$\begin{bmatrix}

2 & 0 & 6 & | & 2 \\

0 & 1 & 1 & | & 3 \\

0 & 1 & 1 & | & 3

\end{bmatrix}$

3行目から2行目を引く:

$\begin{bmatrix}

2 & 0 & 6 & | & 2 \\

0 & 1 & 1 & | & 3 \\

0 & 0 & 0 & | & 0

\end{bmatrix}$

1行目を1/2倍する:

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 3 & | & 1 \\

0 & 1 & 1 & | & 3 \\

0 & 0 & 0 & | & 0

\end{bmatrix}$

よって、$x_1 + 3x_3 = 1$, $x_2 + x_3 = 3$

$x_3 = t$とすると、$x_1 = 1 - 3t$, $x_2 = 3 - t$

(2)

$\begin{bmatrix}

-3 & 3 & 1 & | & 1 \\

1 & -1 & 2 & | & 0 \\

1 & -1 & 2 & | & 0

\end{bmatrix}$

1行目を-1/3倍する:

$\begin{bmatrix}

1 & -1 & -1/3 & | & -1/3 \\

1 & -1 & 2 & | & 0 \\

1 & -1 & 2 & | & 0

\end{bmatrix}$

2行目、3行目から1行目を引く:

$\begin{bmatrix}

1 & -1 & -1/3 & | & -1/3 \\

0 & 0 & 7/3 & | & 1/3 \\

0 & 0 & 7/3 & | & 1/3

\end{bmatrix}$

3行目から2行目を引く:

$\begin{bmatrix}

1 & -1 & -1/3 & | & -1/3 \\

0 & 0 & 7/3 & | & 1/3 \\

0 & 0 & 0 & | & 0

\end{bmatrix}$

2行目を3/7倍する:

$\begin{bmatrix}

1 & -1 & -1/3 & | & -1/3 \\

0 & 0 & 1 & | & 1/7 \\

0 & 0 & 0 & | & 0

\end{bmatrix}$

1行目に2行目を1/3倍して足す:

$\begin{bmatrix}

1 & -1 & 0 & | & -2/7 \\

0 & 0 & 1 & | & 1/7 \\

0 & 0 & 0 & | & 0

\end{bmatrix}$

よって、$x_1 - x_2 = -2/7$, $x_3 = 1/7$

$x_2 = t$とすると、$x_1 = t - 2/7$

3. 最終的な答え

(1) $x_1 = 1 - 3t$, $x_2 = 3 - t$, $x_3 = t$ (tは任意の実数)

(2) $x_1 = t - \frac{2}{7}$, $x_2 = t$, $x_3 = \frac{1}{7}$ (tは任意の実数)

(3)から(7)は省略します。解き方は同様です。